Boules et normes
Florian Lavigne 27 février 2018
1 Quelques rappels
Dans ces notes, nous considérons un R-espace vectoriel E quelconque. Remarquons que si E est de dimension finie n, alors en considérant une base (e1, . . . , en)de E, on peut écrire tout élément deE sous la forme
x=
n
X
i=1
xi ei.
Cependant, il est préférable d’utiliser parfois la notation vectorielle :
x=
x1
... xn
.
Il faut faire attention à cette notation. En effet, on ne précise plus la base dans laquelle nous nous plaçons alors que les coordonnées d’un vecteur dans une base dépendent évidemment de cette base. Nous utiliserons dans le cas de la dimension finie cette notation vectorielle en sous-entendant qu’on peut prendre n’importe quelle base (mais souvent la plus naturelle reste la base canonique).
Maintenant rappelons que : Définition 1 :
Une application N :E →R est unenorme surE si : pour tout x∈E, N(x)≥0;
si N(x) = 0 alors x= 0;
pour tout x∈E, et pour tout λ∈R, on a : N(λx) = |λ| ·N(x) ; Inégalité triangulaire :
∀x, y ∈E, N(x+y)≤N(x) +N(y).
Remarque. SiN est une norme, on a l’égalité :
N(0) =N(0·0) = |0| ·N(0) = 0.
C’est pourquoi lors de la démonstration qu’une application N est une norme, nous
Grâce à ces normes, nous pouvons définir des boules dans E : Définition 2 :
Soit x ∈ E et R ≥ 0. La boule ouverte dans E de centre x et de rayon R pour la norme N, qu’on noteraBN(x, R), est l’ensemble :
BN(x, R) = {y∈E, N(x−y)< R}.
La boule fermée dans E de centre x et de rayon R pour la norme N, qu’on notera BN(x, R), est l’ensemble :
BN(x, R) ={y∈E, N(x−y)≤R}.
On définit par ailleurs lasphère dans E de centrex et de rayon R pour la norme N, qu’on noteraSN(x, R), est l’ensemble :
SN(x, R) = {y∈E, N(x−y) = R}.
Remarque. On a :
BN(x, R) =BN(x, R)tSN(x, R),
où le symbole tsignifie l’union disjointe de deux ensembles.
Remarque. Dans la définition même de boules, on voit apparaître la norme N. Donc chaque boule dépend du centre, de son rayon, mais aussi de la norme.
2 Cas de la dimension finie
Les normes les plus importantes dans un espace vectoriel de dimension finie (et donc dans Rn) sont les normes lp suivantes :
Définition 3 :
Pour x = (x1, . . . , xn) ∈ E un R-espace vectoriel de dimension finie, on pose pour1≤p <∞ :
kxkp =
n
X
i=1
|xi|p
!1/p
et
kxk∞= max
1≤i≤n|xi|.
Théorème 1 :
Les applications k · kp sont des normes de E si 1 ≤ p ≤ +∞, appelées normes lp sur E.
Voici quelques exemples de boules unités (centrées en l’origine et de rayon 1) deR2.
Figure1: Exemples de boules
Rappelons maintenant le résultat le plus important des espaces vectoriels normés de dimension finie :
Théorème 2 :
Dans unR-espace vectoriel normé de dimension FINIE, noté E, toutes les normes sont équivalentes. Cela veut dire que pour deux normes N1 etN2 de E, il existe deux constantesC1 >0et C2 >0 telles que :
∀x∈E, N1(x)≤C1·N2(x) et N2(x)≤C2·N1(x).
Corollaire 1 :
Soit deux normes N1 et N2 d’un R-espace vectoriel de dimension finie, notéE. Soit x∈E. SoitR >0. Il existe alors deux réelsr1 etr2 positifs tels que :
BN1(x, r1)⊂BN2(x, R)⊂BN1(x, r2).
Démonstration. CommeE est de dimension finie, il existeC1 >0etC2 >0telles que :
∀y∈E, 1 C1
N1(y)≤N2(y)≤C2N1(y).
Tout d’abord, poury ∈BN2(x, R), on a :
Ainsiy∈BN1(x, C1·R)nous donner2 =C1·R. Ensuite, poury∈BN1(x, R/C2)on a : N2(x−y)≤C2N1(x−y)< R.
Ainsir1 =R/C2 convient.
Remarque. On voit par exemple sur la figure 1 que la boule de la norme k · k1 est bien
incluse dans la boule de la norme k · k∞.
3 Cas de la dimension infinie
Dans cette partie, nous traiterons le cas E = Co(]0,1[,R) l’ensemble des fonctions continues de ]0,1[ dans R, qui est un R-espace vectoriel. Cela va nous permettre de voir que tout ce qui marchait bien en dimension finie marche moins bien en dimension infinie.
Pourquoi E est-il de dimension infinie ?
On sait que les fonctions fn(x) = xn sont continues. Ainsi pour tout n, fn∈E.
De plus, comme(1, . . . , Xn)est une famille libre deRn[X], on peut montrer que la famille (f0, . . . , fn)est libre dansE, quelque soit la valeur de n. Comme la dimension deE est supérieure ou égale au cardinal d’une famille libre de E, on a :
∀n, dimE ≥n.
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient que E est forcément de dimension infinie.
Normes et boules
Comme dans le cas de la dimension finie, nous avons des "normes" Lp : Définition 4 :
Soit f ∈E. On pose pour 1≤p < ∞: kfkp =
Z 1 0
|f(x)|pdx 1/p
et
kfk∞ = sup
x∈]0,1[
|f(x)|
Théorème 3 :
Les applications k · kp sont bien des "normes" sur E, appelées normes Lp, dans le sens où elles peuvent valoir +∞.
Démonstration. La démonstration est la même que dans le cas finie.
Remarque. Plus tard, vous définirez les espaces Lp(]0,1[,R) qui sera l’ensemble des fonctions telles que kfkp < ∞. Ainsi sur cet espace, cette application sera bien une
norme.
Exemple. La fonction f : x 7→ √1x ∈ E et kfk1 = 2, alors que kfk∞ = ∞. Donc f appartiendrait à la "boule fermée" de centre 0 (à comprendre la fonction nulle) et de rayon 2, pour la norme L1. Cependantf n’appartient à aucune "boule" de centre 0 pour
la norme L∞.
Exemple. On montre facilement que pour f ∈E, on a : kfk1 ≤
Z 1 0
kfk∞dx =kfk∞.
Donc sif appartient à une boule de centre 0 pour la normeL∞, alors elle appartient à
une boule pour la norme L1.
Remarque. En dimension infinie, on n’a pas l’équivalence des normes ! Par exemple, on a bien une contante C1 telle que :
∀f ∈E, kfk1 ≤C1· kfk∞. S’il existait une constante C2 >0 telle que
∀f ∈E, kfk∞≤C2· kfk1, cela impliquerait que pour la fonctionf :x7→1/√
x vérifierait kfk∞ ≤2,
ce qui est faux !
