G2966. Une jolie maquette en bois de buis
Zig décide de construire la maquette d’une pyramide à base carrée dont les quatre faces triangulaires sont équilatérales avec une collection de boules en bois de buis, chacune de diamètre 30 mm et de poids 13 grammes.
Comme le montre l’image ci-contre, il les empile les unes sur les autres et afin d’obtenir une rigidité de son montage, il met un point de colle à chaque point de contact de deux boules. Au bout d’un très long et très méticuleux travail de collage, il dénombre exactement 30 000 points de colle qui nécessitent 1,175 kg de colle.
Une fois que Zig a placé la dernière boule au sommet, déterminer la hauteur de la pyramide (arrondie au millimètre le plus poche) ainsi que son poids (arrondi au gramme le plus proche).
Solution de Paul Voyer
Si la base est constituée de nxn boules, le nombre de boules est N =
6 1 2
1
n n
n
Pour le niveau k*k, le nombre de points de colle est : 2k(k-1) intra niveau
+ 4(k-1)² vers le niveau supérieur (k-1)*(k-1), soit 2(k-1)(3k-2.
A vue de nez, n = 25. confirmé par tableau EXCEL.
k p somme
1 0
2 8 8
3 28 36
4 60 96
5 104 200
6 160 360
7 228 588
8 308 896
9 400 1296
10 504 1800
11 620 2420
12 748 3168
13 888 4056
14 1040 5096
15 1204 6300
16 1380 7680
17 1568 9248
18 1768 11016
19 1980 12996
20 2204 15200
21 2440 17640
22 2688 20328
23 2948 23276
24 3220 26496
25 3504 30000
26 3800 33800
