Sujet du TD3 – Fonctions de plusieurs variables – L2

Aix Marseille Universit´e 󰂇󰂅󰂆󰂌-󰂇󰂅󰂆󰂍

Licence Math´ematiques G´en´erales 󰂇`eme ann´ee

Fonctions de plusieurs variables TD 3 : D´eriv´ees partielles, diff´erentielles

1 Calcul des d´ eriv´ ees partielles et diff´ erentielles

Exercice 1

(*) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres des fonctions suivantes, et d´eterminer leur domaine d’existence :

1. f(x, y) =y³−3x²y 2. f(x, y) = ln(x+ 2y) 3. f(x, y, z) =xsin(y−z²) 4. f(x, y) = arctan(y/x) 5. f(x, y) = _x+y^x2

Exercice 2

(*)Soitf la fonction d´efinie surR² par :

f(x, y) =

󰀻󰀿

󰀽

x si |x|>|y| y si |x|<|y| 0 si |x|=|y|

La fonction f est-elle continue ? En quels points admet-elle des d´eriv´ees partielles ? Ces d´eriv´ees partielles sont-elles continues ?

Exercice 3

(*) Soit f une fonction d´erivable sur R. Exprimer les d´eriv´ees partielles premi`eres des fonctions (x, y)󰀁→f(xy),(x, y)󰀁→f(x+y),(x, y)󰀁→f(exp(xy³)).

Exercice 4

(*) Soitf une fonction diff´erentiable sur R². On pose g(t) =f(t, t³+ 2t²). Exprimerg^′(t) en fonction des d´eriv´ees partielles de f.

Exercice 5 (Examen de mai 2016)

(*)Soit la fonction de deux variables d´efinie sur R²par f(x, y) :=

® _x3y

x²+y⁴ si (x, y)∕= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

1. Calculer les d´eriv´ees partielles ^∂f_∂x(x, y) et ^∂f_∂x(x, y) en tout point (x, y)∕= (0,0) et en (x, y) = (0,0).

2. Montrer quef est de classeC¹(R²).

3. Ecrire la formule de Taylor avec reste int´egral l’ordre 1, au point (1,1).

(*)

1. Soitf :R³→Rune fonction de classeC¹ et soitF :R→Rla fonction d´efinie par : F(x) =f(x, x², x³).

(a) Justifier queF est de classeC¹ surR.

(b) Pourx∈R, calculerF^′(x) en fonction des d´eriv´ees partielles def.

2. Soitf :R→Rune fonction de classeC¹et soitF :R³→Rla fonction d´efinie par : F(x, y, z) =f(xy²+z³).

(a) Justifier queF est de classeC¹ surR³.

(b) Calculer le gradient deF en un point quelconque (x, y, z)∈R³.

Exercice 7 (Examen de juin 2016) (*)Soitf la fonction d´efinie surR² par

f(x, y) :=

® 󰀃

x²+y²󰀄

ln(x²+y²) si (x, y)∕= (0,0),

0 si (x, y) = (0,0).

1. Montrer quef est continue surR².

2. Calculer les d´eriv´ees partielles ^∂f_∂x(x, y) et ^∂f_∂y(x, y) en tout point (x, y)∕= (0,0) et en (x, y) = (0,0).

3. Montrer quef est de classeC¹ surR².

4. Donner l’expression ded(1,0)f, la diff´erentielle def au point (1,0).

5. Ecrire la formule Taylor-Young l’ordre 1 au point (1,0).

Exercice 8

On consid`ere l’expressionf(x, y) =sin(x)−sin(y)

x−y .Montrer quef se prolonge en une fonction continue surR². Cette fonction est elle diff´erentiable ? Si oui, calculerd_(x,x)f.

Exercice 9

(*)Soitf :R²→Rd´efinie par : f(x, y) =

® y²

x si x∕= 0

y si x= 0

Montrer quef admet des d´eriv´ees en (0,0) suivant tout vecteur, mais n’est pas continue en ce point.

Exercice 10

Soitf :R²→Rd´efinie par : f(x, y) =

® _xy(x2

−y²)

x²+y² si (x, y)∕= (0,0)

0 si (x, y) = (0,0)

1. Montrer quef est continue surR², et de classeC¹surR²\ {(0,0)}. 2. Calculer _∂x∂y^∂2f (0,0), et _∂y∂x^∂2f f(0,0).

3. Que peut-on en conclure ?

Exercice 11

1. SoitN une norme surRⁿ. Montrer que N n’est pas diff´erentiable en (0, . . . ,0).

2. Montrer que l’application x 󰀁→ 󰀂x󰀂², d´efinie sur Rⁿ (n ≥ 1) est diff´erentiable sur Rⁿ\ {(0, . . . ,0)}, et calculer sa diff´erentielle.

3. Qu’en est-il de la norme󰀂•󰀂¹?

Exercice 12 Soit

ϕ(t) =

ß t⁴sin(1/t) si t∕= 0

0 si t= 0

1. Montrer queϕest continue et deux fois d´erivable surR. 2. Soit f d´efinie sur R² par f(x, y) = ϕ(󰁳

x²+y²). Montrer que f est deux fois diff´erentiable sur R, et calculer d²_(0,0)f. (C’est-`a- dire : la diff´erentielle `a l’origine de l’application qui associe `a tout (x, y) ∈ R², la matrice jacobienne de f en ce point.)

3. Calculer en tout point _∂x∂y^∂2f (x, y), et _∂y∂x^∂2f (y, x).

Exercice 13

Soit f une fonction de classe C¹, d´efinie sur R², `a valeurs r´eelles. Soit γ une application de classe C<sup>1</sup> d´efinie sur un intervalle ]−r, r[ (avec r > 0), `a valeurs dans R², telle que

󰀂γ^′(t)󰀂= 1 en tout point du domaineO. On notexle pointγ(0)

1. Montrer que (f ◦γ)^′(0) = dxf(γ^′(0)) =< ∇f(x),γ^′(0) >. (Ici < ., . > d´esigne le produit scalaire euclidien).

2. En d´eduire la valeur maximale de |(f ◦γ)^′(0)|. Donner une condition n´ecessaire et suffisante liantγ^′(0) et∇f(x) pour que cette valeur soit atteinte.

3. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat pr´ec´edent.

2 Changements de variables et jacobien

Exercice 14

(*) Soit f le fonction de R² dans R² d´efinie par f(x, y) = (x²−y²,2xy). Montrer que la matrice jacobienne de f est inversible en tout point deR² priv´e de l’origine.

Exercice 15

On note (r,θ) ∈ R⁺ ×[0,2π[ les coordonn´ees polaires dans le plan. Soit f une fonction de classe C² sur R²\ {(0,0)}. On d´efinit F(r,θ) = f(rcos(θ), rsin(θ)). Calculer ∆f =

∂²f

∂x² + ^∂_∂y^2f2 en fonction des d´eriv´ees partielles de F par rapport `a r et θ. Application : Si f(x, y) = √ ¹

x²+y², calculer∆f. Exercice 16

Soit f :R² →R une fonction admettant des d´eriv´ees partielles (premi`eres) continues. On d´efinit F(x, y, z) =f(xyz,^x_x+z^−y). Calculerx^∂F_∂x(x, y, z) +y^∂F_∂y(x, y, z) +z^∂F_∂z(x, y, z).

Exercice 17

suppose que pour tout t∈R, et pour tout (x, y)∈R ,f(tx, ty) =t f(x, y). Montrer que x^∂f_∂x(x, y) +y^∂f_∂y(x, y) =kf(x, y)

Exercice 18

(*)Soient f etg d´efinies parf(x, y, z) = (x+y, x²yz), etg(u, v) = (u²v,2u+v, e^v).

1. Calculer les matrices jacobiennes def etg.

2. Soient les vecteurs V ∈ R² et W ∈ R³. Soient (u, v) ∈ R², et (x, y, z) ∈ R³ deux points fix´es. Exprimerd(u,v)(f◦g)(V), et d(x,y,z)(g◦f)(W).

Exercice 19

Soitf d´efinie surD= (R⁺\ {0})×(R⁺\ {0}) par f(x, y) = (^x_2y²,^y_2x²).

1. Montrer quef est une bijection deDsur lui-mˆeme.

2. Calculer la matrice jacobienne def.

3. D´eterminer l’application r´eciproqueg, def. 4. Calculer la matrice jacobienne deg.

3 Accroissements finis

Exercice 20

(*)En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis, montrer que pour toutx >0, arctan(x)>

x

1+x², que pour toutx >−1, ln(1 +x)≤x, et que pour tout r´eelx,e^x≥1 +x.

Exercice 21

Soitf :R²→R² la fonction d´efinie parf(x, y) = (x², x²+y²) et soitg=f ◦f. 1. Montrer quef et gsont de classeC¹.

2. Calculer en tout point (x, y)∈R²la matrice jacobienne def, not´eeJ(x,y)f . Calculer la matrice jacobienne deg au point (0,0) not´eJ(0,0)g.

3. Montrer qu’il existeρ>0 tel que pour tout (x, y)∈B(0,ρ) (la boule ouverte de centre (0,0) et de rayonρ), on a|||J(x,y)g|||<1, o`u|||J(x,y)g|||= sup_󰀂h󰀂2=1󰀂J(x,y)g(h)󰀂². 4. En d´eduire que pour tout coupleX, Y ∈B(0,ρ),󰀂g(X)−g(Y)󰀂²<󰀂X−Y󰀂².

4 Un peu de g´ eom´ etrie diff´ erentielle

Exercice 22

Pour chacune des fonctionsf suivantes, d´eterminerdaf, et∇f(a), ainsi que leurs domaines d’existence :

1. f(x, y, z) = √ ^z

x²+y²

2. f(x, y) = arctan(^y_x) + arctan(^x_y) 3. f(x, y) = (xy)^xy

Exercice 23

(*)SoitSla surface d’´equationz=x²+y². D´eterminer en chaque point l’´equation du plan tangent et de la normale `a S.

Exercice 24

Soit S la sph`ere d’´equation implicite x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>−1 = 0. Montrer qu’en chaque point M ∈S,OM est normal `aS.

Exercice 25

SoitS la surface param´etr´ee d´efinie par les ´equations :

OM(u, v) :

󰀻󰀿

󰀽

x(u, v) = uv

y(u, v) = v

z(u, v) = u²

1. Donner en chaque point diff´erent de l’origine (0,0,0) l’´equation de la normale et du plan tangent `aS.

2. La normale admet-elle une limite lorsque (u, v) tend vers (0,0) ?

Exercice 26

(*)SoitV une fonction de classeC¹ surR³, `a valeurs dansR³. (On appelleV un champ de vecteurs.) On note (P, Q, R) les composantes deV, de sorte que :∀(x, y, z)∈R³,V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). On d´efinit le rotationnel deV comme le champ de vecteurs :

(rot(V)) = (∂R

∂y −∂Q

∂z, ∂P

∂z −∂R

∂x, ∂Q

∂x −∂P

∂y).

On utilise parfois la notation abr´eg´ee : (rot(V)) = (_∂x^∂ ,_∂y^∂ ,_∂z^∂ )∧(P, Q, R).

1. Soitf une fonction de classeC¹d´efinie surR³`a valeurs r´eelles. Montrer querot(f V) = f rot(V) +∇f∧V.

2. Soit f une fonction de classeC² sur R³, `a valeurs r´eelles. Montrer que rot(∇f) = (0,0,0). Quel th´eor`eme est-il n´ecessaire d’utiliser pour cela ?

Exercice 27

SoitS la surface param´etr´ee par les ´equations :

OM(λ, t) :

󰀻󰀿

󰀽

x(λ, t) = λcos(t) y(λ, t) = λsin(t)

z(λ, t) = t,

avec (λ, t) ∈[0,1]×R⁺. D´eterminer en chaque point l’´equation du plan tangent et de la normale `aS.

5 Quelques ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

Exercice 28

On veut trouver toutes les fonctionsfde classeC², d´efinies surR, `a valeurs r´eelles, solutions de l’´equation (E) :

(E) : ∀(x, y)∈R×R, f(x+y) + 1 =f(x) +f(y) + 2xy 1. D´eterminerf(0)

2. Trouver la valeur def^′′ (on pourra pour cela d´eriver deux fois, une fois par rappport

`

a xet une fois par rapport `ay, l’´equation (E).

3. En d´eduire les solutions de (E).

Une fonction f, d´efinie surR² et de classe C²est dite harmonique si son laplacien est nul, ie, si ^∂_∂x^2f2 +^∂_∂y^2f2 = 0 Dans toute la suite, on fixef une fonction harmonique.

1. On suppose que f est de classe C³. Montrer que si f est harmonique, ^∂f_∂x, ^∂f_∂y et (x, y)󰀁→x^∂_∂x^f(x, y) +y^∂f_∂y(x, y) le sont aussi.

2. On suppose dans la suite que f est radiale, c’est-`a-dire qu’il existeϕ, de classe C¹ surR, telle quef(x, y) =ϕ(x²+y²). Montrer queϕ^′(t) +tϕ^′′(t) = 0. R´esoudre cette

´equation, et trouver la forme g´en´erale deϕ.

3. En d´eduire toutes les fonctions harmoniques radiales.

Exercice 30

(*)On cherche toutes les fonctionsg, d´efinies surR², de classeC¹, `a valeurs r´eelles, v´erifiant l’´equation (E) ci-dessous :

(E) : ∂g

∂x(x, y)−∂g

∂y(x, y) =a, ∀(x, y)∈R²

o`uaest un r´eel fix´e. On notef la fonction d´efinie par : f(u, v) :=g(^u+v₂ ,^v−u₂ ).

1. Montrer que sig v´erifie l’´equation (E) alors ^∂f_∂u =^a₂. 2. En d´eduire la forme la plus g´en´erale def.

3. Donner les solutions de (E).

6 Encore quelques exercices tir´ es des examens des ann´ ees pr´ ec´ edentes

Exercice 31

Soitf :R²→R² la fonction d´efinie par

f(x, y) = (ye^xy,ln(1 +x²y²)) et soitg :R²→Rla fonction d´efinie par

g(s, t) =t²s.

Calculer le gradient de g◦f en un point (x, y)∈R².

Exercice 32

1. Soitf :R³→Rune fonction de classeC¹ et soitF :R→Rla fonction d´efinie par : F(x) =f(x, x², x³).

(a) Justifier queF est de classeC¹ surR.

(b) Pourx∈R, calculerF^′(x) en fonction des d´eriv´ees partielles def.

2. Soitf :R→Rune fonction de classeC¹et soitF :R³→Rla fonction d´efinie par : F(x, y, z) =f(xy²+z³).

(a) Justifier queF est de classeC¹ surR³.

(b) Calculer le gradient deF en un point quelconque (x, y, z)∈R³.

Exercice 33

Soit la fonctionf d´efinie sur R² par

f(x, y) = ln(1 +󰁳

x²+ 2y²).

1. Calculer le gradient de f en (2,0).

2. Donner l’´equation du plan tangent, au point (2,0,ln 3), `a la surface d’´equationz = f(x, y).

7 Exercices suppl´ ementaires (sur les matrices)

Exercice 34

Soit f l’application deM2(R) dans M2(R), d´efinie parf(A) =A²,∀A ∈M2(R). SoientA et H ´el´ements deM2(R). CalculerdAf(H).

Exercice 35

Soit nun entier positif. On noteMn(R) l’ensemble des matrices n×n`a coefficients r´eels.

On note GLn(R) le sous-ensemble des matrices inversibles, et1la matrice identit´e.

1. Rappeler pourquoiGLn(R) est un ouvert deMn(R).

2. Pour tout couple d’indices 1≤i, j≤n, on noteEi,jla matrice dont le seul coefficient non nul et ´egal `a 1 est celui de ligne iet de la colonnej. D´eterminer (1+tEi,j)<sup>−1</sup>, o`utest un r´eel quelconque (ett∕=−1 sii=j).

3. D´eterminer la diff´erentielle de l’applicationt󰀁→(1+tEi,j)⁻¹ent= 0, en d´eduire la diff´erentielle en1de l’application f :A󰀁→A⁻¹, d´efinie surGLn(R).

4. En utilisant la relation (A +H)⁻¹ = (A(1 +A⁻¹H))⁻¹, d´eduire de la question pr´ec´edente l’applicationdAf.

Exercice 36

Soit nun entier positif. On noteMn(R) l’ensemble des matrices n×n`a coefficients r´eels.

On note det l’application d´eterminant d´efinie surMn(R), ettr la trace. Montrer que pour toute matriceH,d1(det)(H) =tr(H).