D371 - Passons de 2D à 3D Solution proposée par Pierre Renfer DIMENSION 2

(1)

D371 - Passons de 2D à 3D

Solution proposée par Pierre Renfer DIMENSION 2

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C).

On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].

Le centre de gravité G et le centre O du cercle circonscrit du triangle ABC ont pour coordonnées :

1 1 1

G

) c b a ( c

) c b a ( b

) c b a ( a O

2 2 2 2



















Un cercle a une équation du type : a²yzb²zxc²xy(xyz)(uxvywz)0

On trouve les constantes u, v, w pour le cercle (BCG) en écrivant que les coordonnées des trois points vérifient l'équation.

On obtient : vw0 et

3 c b u a

2 2

2 





La matrice M de la forme bilinéaire symétrique associée à l'équation du cercle (BCG) est :

















0 a

b u

a 0

c u

b u c u u 2 M

2 2

Le centre A' du cercle (BCG) est le pôle de la droite de l'infini, d'équationxyz0. Soit V le vecteur colonne dont les trois composantes valent 1.

Alors M^¹V fournit les coordonnées de A'.

La matrice M^¹ est proportionnelle à la matrice N des cofacteurs de M.

On obtient les coordonnées de A' en calculant 3NV :

2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2

c b 3 c a 5 c 2 b a

c b 3 b a 5 c b 2 a

) c b a 5 ( a ' A















On obtient les coordonnées de B' et C' par permutation circulaire sur a, b, c et sur x, y, z :























































2 2 2

2 2

2

2 2

4

) c u ( u

a 2 ) c u ( ) b u ( ) c u ( a

u a 2 ) c u ( ) b u ( )

b u ( )

b u ( a

) c u ( a )

b u ( a a

N

(2)

2 2 2 2 4 4 4

2 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4

a c 3 c b 5 a c 2 b

) a c b 5 ( b

a c 3 a b 5 a 2 c b ' B















) b a c 5 ( c

b a 3 b c 5 b 2 a c

b a 3 a c 5 b a 2 c ' C

2 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4















Pour les trois points, on obtient la même somme S des coordonnées :

) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( ) c b a ( 3 ) a c 2 c b 2 b a 2 c b a ( 3

S   ⁴  ⁴ ⁴  ² ²  ² ²  ² ²               On obtient donc les coordonnées du centre de gravité G' en additionnant celles de A', B', C' :

) c b a ( 9c

) c b a ( 9b

) c b a ( 9a ' G

2 2 2 2



















On conclut que G' coïncide bien avec le centre O du cercle (ABC).

DIMENSION 3

On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A, B, C, D).

On note a, b, c, d, e, f les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB], [DA], [DB], [DC].

1) Coordonnées du centre O de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD

Dans le problème D366 (Monge en son tétraèdre), j'avais calculé les coordonnées de O :

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

c b a 2 ) c b a ( f c ) c b a ( e b ) c b a ( d a

d e c 2 ) d e c ( a d ) d e c ( b e ) d e c ( f c

f b d 2 ) f b d ( c f ) f b d ( e b ) f b d ( a d

a e f 2 ) a e f ( d a ) a e f ( b e ) a e f ( c f O











































































2) Equation de la sphère (ABCD) et de la sphère (ABCG)

Soit P le point de coordonnées (x, y, z, t).

Soit  la fonction scalaire de Leibniz définie par : (M)xMA² yMB²zMC²tMD² Pour tout point M de l'espace : (M)(xyzt)MP² (P)

2 2 (P) (x y z t) R OP

) t z y x ( ) O

(           

 , où R est le rayon de la sphère (ABCD).

(3)

Donc le point P appartient à la sphère (ABCD) si et seulement si : (P)0

D'autre part :











































































































z f y e x d ) P ( PD ) t z y x ( ) D (

t f y a x b ) P ( PC ) t z y x ( ) C (

t e z a x c ) P ( PB ) t z y x ( ) B (

t d z b y c ) P ( PA ) t z y x ( ) A (

2 2

Par combinaison linéaire des quatre égalités, avec les coefficients x, y, z, t, on obtient : )

tz f ty e tx d xy c zx b yz a ( 2 ) P ( ) t z y x (

2       ²  ²  ²  ²  ²  ²

L'équation de la sphère (ABCD) est donc : a²yzb²zxc²xyd²txe²tyf²tz0

Une sphère quelconque passe par l'ombilicale à l'infini et a donc une équation de la forme : 0 ) t n z m y l x k ( ) t z y x ( tz f ty e tx d xy c zx b yz

a²  ²  ²  ²  ²  ²             

On obtient les constantes k, l, m, n pour la sphère (ABCG) en écrivant que les coordonnées des points A, B, C, G vérifient l'équation.

On obtient : klm0 et

4

f e d c b n a

2 2 2 2 2

2    





La matrice M de la forme bilinéaire symétrique associée à l'équation du cercle (BCG) est :





















n 2 f

n e n d n

f n 0 a

b

e n a 0

c

d n b c

0 M

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

Le centre D' de la sphère (ABCG) est le pôle du plan de l'infini, d'équationxyzt0. Soit V le vecteur colonne dont les quatre composantes valent 1.

Alors M^¹V fournit les coordonnées de D'.

La matrice M^¹ est proportionnelle à la matrice N des cofacteurs de M.

Les coordonnées (,,,) suivantes, du vecteur colonne 4NV, sont les coordonnées de D':

4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 6

f c 3 f e c 4 e c f d c e d c f c e c f b f e b 4

e b 3 f d b e d b f b e b f a f e a 6 e a f d a 3 e d a 3 d a 2

f c a 7 e c a d c a c a f b a e b a 7 d b a c b a 2 b a d a 7 a















































(4)

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 6 2 2 2

4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4

f e c f c 3 e d c f d c 4 d c f c d c e b 2 e f b 3

f b e d b 3 f d b 6 d b e c b f c b 7 d c b c b e b 7 b e f a

f a e d a f d a 4 d a 3 e b a f b a d b a 7 c b a 2 f a d a b a







































4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 6 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 4

e c f e c 3 f c 2 e d c 6 f d c 3 d c f c 7 c e b 3

e f b e d b 4 f d b d b e c b 7 f c b d c b e b d b c b e a

f e a e d a 4 f d a d a 3 e c a f c a d c a 7 c b a 2 e a d a c a













































On en déduit les coordonnées de A', B', C', par permutation circulaire sur les coordonnées x, y, z, t et sur a, f, d, c et sur b, e.

Les quatre points A', B', C', D' ont la même somme s de leurs coordonnées avec :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4

f e c f d c f e b

e d b f c b e c b f d a e d a f c a d c a e b a d b a

e d c f d b f e a c b a f c e b e b d a d a 8 / s







On obtient donc les coordonnées du centre de gravité G' du tétraèdre A'B'C'D' en additionnant les coordonnées des quatre points.

On trouve ainsi que les coordonnées de G' sont égales à 16 fois les coordonnées de O ci-dessus.

Le point G' coïncide donc bien avec O.

2 4 2 4 2 4 6 2 2 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 4 2 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4

2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 6

e c f c 3 d c c e c b 2 f c b 2

d c b 2 c b e b 3 f b d b c b b e c a 2 f c a 2 d c a 2 c a 2

e b a 2 f b a 2 d b a 2 c b a 14 b a e a f a d a 3 c a b a a



































