(2) Montrer que φ est injectif si et seulement si Ker(φ

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Université Bordeaux 1 2009/2010

MHT411A - DEVOIR MAISON N°1

A RENDRE LA SEMAINE DU 2 NOVEMBRE

Exercice 1. (Question de cours)

Soient (G,·), (H, ?) deux groupes et φ : (G,·) → (H, ?) un homomorphisme de groupes.

(1) Donner la dénition du noyan de φ.

(2) Montrer que φ est injectif si et seulement si Ker(φ) = {e_G}, où e_G désigne l'élément neutre de(G,·).

Exercice 2. On rappelle que Gl₂(R) désigne l'ensemble des matrices à coecients réelles qui sont inversibles. En particulier, M =

a b

c d

∈Gl₂(R) si et seulement siad−bc6= 0. Cet ensemble forme un groupe pour le produit matriciel .

Soit G:=R×R^?. On dénit une loi ? surG en posant (x, y)?(x⁰, y⁰) := (x⁰+xy⁰, yy⁰).

(1) Montrer que (G, ?) est un groupe non commutatif.

(2) Montrer que R×Q^? est un sous-groupe de(G, ?). (3) Montrer que le sous-ensembleG deGl₂(R) déni par

G :=

1 b

0 c

: b, c∈R

est un sous-groupe de(Gl₂(R),×)et qu'il est isomorphe à (G, ?).

Exercice 3. Pourn∈N^∗. On rappelle que(A_n,◦)désigne len−ième groupe alterné.

C'est à dire le noyau de l'homomorphisme signature :σ_n→ {±1}.

On se place dans le groupe symétrique (σ4,◦). (1) Montrer que les éléments

τ₁ = (1,2) (3,4), τ₂ = (1,3) (2,4) et τ₃ = (1,4) (2,3) sont des éléments de A₄.

(2) Déterminer les élements du sous-groupe G engendré par τ₁, τ₂ et τ₃ et donner sa table de multiplication.

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(3) Soit σ ∈ G, σ 6= id et soit τ ∈ σ₄. Montrer que τ ◦σ◦τ⁻¹ n'a pas de point xe, c'est à dire que ∀i∈ {1,2,3,4}, τ ◦σ◦τ⁻¹(i)6=i.

(4) Montrer que τ◦σ◦τ⁻¹ est d'ordre 2.

(5) Soient τ ∈ A₄ etσ ∈G, montrer que τ ◦σ◦τ⁻¹ ∈G.

Exercice 4. (1)SoitH un sous-groupe de(Z,+). A l'aide de la division euclidienne, montrer queH ={0} ou bien qu'il existe a∈Z tel que H=aZ.

(2)SoitH₁ :={8b+ 12c : b, c∈Z}. Montrer queH₁est un sous-groupe de(Z,+) et déterminer a₁ ∈Z tel que H₁ =a₁Z.

(3)SoitH₂ := 8Z∩12Z. Montrer queH₂est un sous-groupe de(Z,+)et déterminer a₂ ∈Z tel que H₂ =a₂Z.

(4) Plus généralement, si x ety sont deux éléments deZ, déterminer (en fonction dex ety),xZ∩yZ ainsi que le sous-groupe engendré par x ety .