Les horloges et la gravitation Si en un point P du champ gravitationnel φ

Les horloges et la gravitation

Si en un point P du champ gravitationnel φ

se trouve une horloge qui indique le temps local, […] ses indications sont 1 + (φ/c

) plus grandes que le temps τ, autrement dit cette horloge marche 1 + (φ/c

) plus vite qu’une horloge identique située à l’origine des coordonnées. Supposons qu’un observateur placé n’importe où dans l’espace récupère les indications des deux horloges, par exemple par un procédé optique. Puisque l’intervalle de temps Δτ, qui sépare l’indication de l’une des horloges et le moment où elle est reçue par l’observateur, est indépendant de τ, l’horloge en P marche pour un observateur placé n’importe où dans l’espace 1 + (φ/c

) plus vite que celle située à l’origine des coordonnées.

[…] C’est dans ce sens que nous pouvons dire que le processus qui a lieu à l’intérieur de l’horloge - et plus généralement, n’importe quel processus physique - se déroule à un rythme qui est d’autant plus rapide que le potentiel gravitationnel du lieu où il se produit est plus élevé.

Einstein. Article de 1907

1

φ désigne le potentiel gravitationnel.

--- https://www.astronomes.com/la-fin-des-etoiles-massives/verification-relativite/

Le ralentissement du temps et l’effet Einstein.

Le troisième type de prédiction concerne le ralentissement du temps au voisinage d’un corps massif. Une fois encore la théorie fut vérifiée par l’expérience. Une horloge atomique fut placée à bord d’un avion volant à 10 kilomètres d’altitude. Au retour, elle avait quelques milliardièmes de seconde d’avance sur une horloge identique qui était restée au sol (attention à ne pas confondre avec l’effet de dilatation du temps qui est dû à un mouvement relatif, pas à la gravité). Le temps s’était bel et bien écoulé un peu plus lentement à la surface de la Terre qu’à une altitude de 10 kilomètres.

D’autres expériences mirent en évidence un phénomène associé au précédent : l’effet Einstein. Imaginons qu’un rayonnement de longueur d’onde donnée est émis à la surface d’un corps massif. Pour un observateur au loin, qui voit le temps s’écouler plus lentement à la surface de l’astre, la période de la lumière et sa longueur d’onde apparaissent légèrement plus longues. Ainsi, par exemple, la lumière jaune serait légèrement décalée vers le rouge.

Ceci a été vérifié pour le rayonnement provenant de plusieurs naines blanches, le décalage relatif étant dans ce cas de l’ordre de quelques cent-millièmes. L’effet Einstein a également été mesuré sur Terre. Le décalage de longueur d’onde entre la base et le sommet d’un immeuble de 20 mètres n’est que d’un millionième de milliardième, mais il a été possible de le mettre en évidence et de vérifier l’accord avec la relativité générale.

Dilatation gravitationnelle des durées.

Supposons, par expérience de pensée, trois « horloges » identiques (ou phénomènes périodiques quelconques tels que les ondes électromagnétiques). L’une d’elles, H, constituant la référence, est supposée très loin de tout champ de gravitation. Les deux autres, H

et H

, sont dans le champ de gravitation d’une masse M dans des positions radiales différentes 𝑟

et 𝑟

telles que 𝑟

> 𝑟

.

H H2

H1

Supposons un événement dont la durée mesurée par H

est ∆𝑡. La relativité générale la durée de cet évènement mesuré par H est :

∆𝑡

√1 − 2𝐺𝑀 𝑟₁𝑐²

>

∆𝑡

De même pour H

. Alors :

∆𝑡

∆𝑡

= √

1 − 2 𝐺𝑀 𝑟

𝑐

1 − 2 𝐺𝑀 𝑟

𝑐

Les termes du type (

𝑟₂𝑐²

) sont très petits par rapport à 1 et par approximation (√1 + 𝜀 ≈ 1 +

2

𝜀 ) on obtient :

∆𝑡

∆𝑡

≈ (1 − 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

) (1 + 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

) ≈ 1 + 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

− 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

− ( 𝐺

𝑀

𝑟

𝑟

𝑐

) A nouveau le dernier terme est négligeable par rapport aux autres et donc :

∆𝑡

∆𝑡

≈ 1 + 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

− 𝐺𝑀 𝑟

𝑐

:

∆𝑡

− ∆𝑡

∆𝑡

≈ 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

− 𝐺𝑀

𝑟

𝑐

≈ 𝐺𝑀 𝑐

( 1

𝑟

− 1 𝑟

) Si 𝑟

> 𝑟

on a ∆𝑡

< ∆𝑡

On a ainsi une « dilatation gravitationnelle » des durées.

On peut visualiser cette idée à l’aide de la courbure de l’espace-temps. On suppose que l’évènement a lieu sans déplacement dans le référentiel d’étude, donc la courbure de l’espace n’intervient pas. En revanche il y a courbure temporelle :

Pas de champ de gravitation : pas de courbure :

ceci pour illustrer que :

t

 t

t

(dilatation gravitationnelle des durées).

début t fin

M M

t1 t2