Correction des exercices sur les vecteurs Ex 21, 24, 50 et 52 p 149-152.
Exer cice 21 .
1. ⃗KL
(
xyLL−−xyKK)
= ⃗KL(
3−6−3−(−3))
= ⃗KL(
−69)
et ⃗KM(
xyMM−−yxKK)
= ⃗KM(
2−(−0−33))
= ⃗KL(
−53)
.2. det ( ⃗KL ; ⃗KM ) = 6 (– 3) – (– 9) 5 = – 18 + 45 = 27.
3. det ( ⃗KL ; ⃗KM ) 0 donc les vecteurs ⃗KL et ⃗KM ne sont pas colinéaires et le point K n’appartient pas à la droite (LM).
Exercice 24 . 1.
2. a) ⃗AB
(
42)
et ⃗CD(
63)
.det ( ⃗AB ; ⃗CD ) = 4 3 – 2 6 = 12 – 12 = 0 donc les vecteurs ⃗AB et ⃗CD sont colinéaires et (AB) // (CD).
b) ⃗AC
(
−45)
et ⃗BD(
−64)
.det ( ⃗AC ; ⃗BD ) = 4 (– 4) – (– 5) 6 = – 16 + 30 = 14 0 donc les vecteurs ⃗AC et ⃗BD ne sont pas colinéaires et (AC) n’est pas parallèle à (BD).
Exercice 50 .
a) ⃗BD + ⃗DA = ⃗BA d’après la relation de Chasles b) ⃗BD + ⃗AA = ⃗BD + ⃗0 = ⃗BD
c) ⃗BD + ⃗DB = ⃗BB = ⃗0 d’après la relation de Chasles
d) ⃗BD – ⃗BA = ⃗BD + ⃗AB = ⃗AB + ⃗BD = ⃗AD d’après la relation de Chasles e) ⃗BD + ⃗AD + ⃗BA = ⃗BD + ⃗BA + ⃗AD = ⃗BD + ⃗BD = 2 ⃗BD
f) ⃗BD – ⃗BA + ⃗DA – ⃗DB = ⃗BD + ⃗AB + ⃗DA + ⃗BD = ⃗BD + ⃗DA + ⃗AB + ⃗BD = ⃗BD
Exercice 52 .
a) ⃗u = ⃗AB – ⃗AC + ⃗DC – ⃗DB = ⃗AB + ⃗CA + ⃗DC + ⃗BD = ⃗CA + ⃗AB + ⃗BD + ⃗DC = ⃗CC
= ⃗0 d’après la relation de Chasles
b) v⃗ = –2⃗AB + ⃗BA – 3⃗BC – 4⃗CA = 2⃗BA + ⃗BA + 3⃗CB + 4⃗AC = 3⃗BA + 3⃗CB + 4⃗AC
= 3(⃗CB + ⃗BA ) + 4⃗AC = 3⃗CA + 4⃗AC
= 4⃗AC – 3⃗AC = ⃗AC
