Correction des exercices sur les vecteurs Ex 56, 65, 70 et 72 p 152-153.
Exer cice 56 .
1. A(1; 1), B(3; 4), C(– 4; 3), D(– 2; – 2), E(1; – 2), F(3; 0) et G(– 2; 4).
2. ⃗AB
(
xyBB−x−yAA)
= ⃗AB(
3−14−1)
= ⃗AB(
23)
⃗CE(
1−2−3−(−4))
= ⃗CE(
−55)
⃗FA
(
1−31−0)
= ⃗FA(
−21)
⃗GD(
−−2−42−(−2))
= ⃗GD(
−60)
⃗BG
(
−24−4−3)
= ⃗BG(
−50)
3. ⃗BG+⃗GD
(
−−6+05+0)
= ⃗BG+⃗GD(
−−65)
⃗BD
(
−2−3−2−4)
= ⃗BG(
−5−6)
donc les deux vecteurs sont égaux. On reconnaît la relation de Chasles.Exercice 65 . 1.
EFGH est un parallélogramme si e seulement si ⃗FE = ⃗GH.
⃗FE
(
2−(−3)−1−4)
= ⃗FE(
−55)
et ⃗GH(
xyHH−4−1)
.Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées sont égales ; on obtient :
{
YxHH−−1= 4=−55 {
YxHH=−1=6 donc H(6; – 1).Exercice 70 .
a) ⃗AB
(
xyBB−x−yAA)
= ⃗AB(
3−(−2)4−1)
= ⃗AB(
53)
et ⃗CD(
5−24−2)
= ⃗CD(
32)
det(⃗AB , ⃗CD ) = 5 2 – 3 3 = 1 donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
b) ⃗AB
(
xyBB−−yxAA)
= ⃗AB(
54−−22)
= ⃗AB(
32)
et ⃗CD(
−2−42−1)
= ⃗CD(
−−23)
det(⃗AB , ⃗CD ) = 3 (– 2) – 2 (– 3) = 0 donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
c) ⃗AB
(
xyBB−−yxAA)
= ⃗AB(
5−30−4)
= ⃗AB(
−42)
et ⃗CD(
3−00−5)
= ⃗CD(
−53)
det(⃗AB , ⃗CD ) = 2 (– 5) – ( – 4) 3 = 2 donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
Exercice 72 .
Si C appartient à la droite (AB) alors ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires, par exemple.
a) ⃗AB
(
xyBB−−yxAA)
= ⃗AB(
−1−32−2)
= ⃗AB(
−04)
et ⃗AC(
27−3−2)
= ⃗AC(
04)
det(⃗AB , ⃗AC ) = 0 4 – ( – 4) 0 = 0 donc le point C (AB).∈
On peut constater que ⃗AB = – ⃗AC et donc ⃗AB et ⃗AC sont colinéaires (A est le milieu de [BC]).
b) ⃗AB
(
xyBB−−yxAA)
= ⃗AB(
−−5−14−4)
= ⃗AB(
−6−8)
et ⃗AC(
4−(−58−(−4)))
= ⃗AC(
129)
det(⃗AB , ⃗AC ) = (– 6) 12 – (– 8) 9 = 0 donc le point C (AB).∈ c) ⃗AB
(
xyBB−−yxAA)
= ⃗AB(
2−(−3−03))
= ⃗AB(
53)
et ⃗AC(
4−(−4−03))
= ⃗AC(
74)
det(⃗AB , ⃗AC ) = 5 4 – 3 7 = = – 1 donc le point C (AB).∉
