Correction des exercices sur les vecteurs Ex 14, 15, 17 et 18 p 147-148.

(1)

Correction des exercices sur les vecteurs Ex 14, 15, 17 et 18 p 147-148.

Exer cice 14 .

⃗

u

(

⁷⁰

)

^,^⃗^v

(

⁻⁵³

)

^et^⃗^w

(

⁻¹³

)

^.

1. ⃗u+⃗v

(

⁷⁺⁽⁻⁰⁺³⁵⁾

)

⁼^⃗^u^+⃗^v

(

²³

)

^et^⃗^u−⃗^v

(

⁷⁻⁽⁻⁰⁻³⁵⁾

)

⁼^⃗^u−⃗^v

(

⁻³¹²

)

^.

2. 3⃗w−2⃗u

(

^{3×(−3)−2×0}^3×1−2×7

)

^{= 3⃗}^w^−2⃗^u

(

⁻⁹⁻⁰³⁻¹⁴

)

^{= 3⃗}^w⁻²^⃗^u

(

⁻¹¹⁻⁹

)

3.

Exercice 15 . 1.

⃗AB

(

⁻⁴⁴

)

^,^⃗^BC

(

³¹

)

^{, 2}^⃗^AB

(

⁻⁸⁸

)

^{, 1}²^⃗^BC

(

³²¹²

)

^{, 2}^⃗^BC−⃗^AC

⁽

⁻³⁷

⁾

^{et 3}⁵^⃗^CA

⁽

⁻³³⁵

⁾

^.

(2)

2. ⃗AB

(

^x^y^B^B⁻^−y^x^A^A

)

⁼^⃗^AB

⁽

²⁻⁻⁽⁻²⁾¹⁻³

⁾

⁼^⃗^AB

⁽

⁻⁴⁴

⁾

^⃗^BC

⁽

²⁻⁽⁻¹⁾³⁻²

⁾

⁼^⃗^BC

⁽

³¹

⁾

2⃗AB

(

^2×(−4^2×4 ⁾

)

^{= 2}^⃗^AB

(

⁻⁸⁸

)

¹²^⃗^BC

(

¹²¹²^×3^×1

)

^{= 1}²^⃗^BC

(

³²¹²

)

2⃗BC−⃗AC

(

2×1−(3−(−2))^{2×3−(2−3)}

)

^{= 2}^⃗^BC−⃗^AC

(

⁻³⁷

)

³⁵^⃗^CA

(

³⁵³⁵⁽⁻²⁻³⁾⁽³⁻²⁾

)

^{= 3}⁵^⃗^CA

⁽

⁻³³⁵

⁾

Exercice 17 .

⃗BE = 3 ⃗BC – 5 ⃗CD .

⃗BE

(

^x^y^E^E⁻^−y^x^B^B

)

⁼^⃗^BE

(

^x^E^y⁻⁽⁻⁴^E⁻² ⁾

)

⁼^⃗^BE

(

^y^x^E^E⁻²⁺⁴

)

⃗BC

(

⁰⁻⁽⁻⁴⁾³⁻²

)

⁼^⃗^BC

(

⁴¹

)

⃗CD

(

⁻⁵⁻³¹⁻⁰

)

⁼^⃗^CD

(

⁻⁸¹

)

3⃗BC−5⃗CD

(

^{3×1−5×(−8}³^×⁴⁻⁵^×¹ ⁾

)

^{= 3}^⃗^BC⁻⁵^⃗^CD

(

⁴³⁷

)

Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées sont deux à deux égales donc

{

^Y^x^E^E⁻²⁼⁴³⁺⁴⁼⁷ ^

{

^x^Y^E^E⁼⁼⁴³⁺²⁷⁻⁴ ^

{

^Y^x^E^E⁼⁼⁴⁵³ donc E(3 ; 45).

Exercice 18 .

EFGH est un parallélogramme si et seulement si ⃗EH = ⃗FG.

⃗EH

(

^x^y^H^H⁻⁻^y^x^E^E

)

⁼^⃗^EH

(

^x^H^y⁻⁽⁻³⁾^H⁻²

)

⁼^⃗^EH

(

^y^x^H^H⁻⁺³²

)

⃗FG

(

⁻⁵⁻⁽⁻²⁻¹⁻¹ ⁾

)

⁼^⃗^FG

(

⁻⁻²³

)

Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs coordonnées sont deux à deux égales donc

{

^x^Y^H^H⁺⁻²⁼⁻³³^{= −}² ^

{

^x^Y^H^H^{= −}⁼⁻³⁺²²⁻³ ^

{

^x^Y^H^H^{= −}⁼⁻¹⁵

donc H(– 5; – 1).