Ex.19 p,149 (Indice Bordas 2011)

(1)

Chapitre n°2: Géométrie plane.

Objectifs.

O2. Condition de colinéarité de deux vecteurs : xy' – yx' = 0.

O3. Vecteur directeur d'une droite. Équation cartésienne d'une droite.

Démonstration : Utiliser la condition de colinéarité pour obtenir une équation cartésienne de droite.

i. Déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point.

ii. Déterminer un vecteur directeur d'une droite définie par une équation cartésienne.

[On fait le lien entre coefficient directeur et vecteur directeur]

[L'objectif est de rendre les élèves capables de déterminer efficacement une équation cartésienne de droite par la méthode de leur choix]

O4. Expression d'un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

Choisir une décomposition pertinente dans le cadre de la résolution de problèmes.

[On ne se limite pas au cadre de la géométrie repérée]

Durée approximative : 11 cours.

Exercice n°1

Ex.19 p,149 (Indice Bordas 2011)

Activité d'approche n°1 – Colinéarité de vecteurs (Déclic 2011)

Dans un repère orthonormé (O;I,J) , on considère les points A(–2;2) , B(–3 ;–3) , C(5;1) et D(2;4). Le point E est le milieu du segment [BC] .

1. Calculez les coordonnées des vecteurs ⃗ AD et ⃗ BC . 2. Pourquoi ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

4. Démontrez que le quadrilatère ABED est un parallélogramme.

5. Le point O appartient-il à la droite (AE) ? Justifiez votre réponse.

(2)

2/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

2/26

(3)

Cours n°1

Chapitre n°2: Géométrie plane.

I) Vecteurs colinéaires.

Définition n°1 : vecteurs colinéaires (rappel)

Dire que deux vecteurs non nuls ⃗ u et ⃗ v sont colinéaires revient à dire qu'il existe un nombre réel a tel que ⃗ v = a ⃗ u .

Le vecteur nul ⃗ 0 est colinéaire à tous les vecteurs.

Remarque : dire que deux vecteurs non nuls sont colinéaires revient à dire qu'ils ont même direction.

Propriété n°1 : colinéarité et parallélisme (rappel)

● Dire que deux vecteurs ^⃗ AB et ⃗ CD sont colinéaires revient à dire que les droites (AB) et (CD) sont ...

● Dire que deux vecteurs ^⃗ AB et ^⃗ AC sont colinéaires revient à dire que les points A , B , et C sont ...

Exercice n°2 Ex.79 p.152 Exercice n°3*

Ex.83 p.152

(4)

4/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

4/26

(5)

Cours n°2

Propriété n°2 : expression de d'un vecteurs en fonction de deux vecteurs colinéaires.

Soit ⃗ u et ⃗ v deux vecteurs non colinéaires du plan.

Alors, pour tout vecteur w ⃗ du plan, il existe un couple unique de nombres réels ( ^x y ) tels que …...

Le couple ( ^x y ) est appelé couple de coordonnées du vecteur w ⃗ dans la base ( ⃗ u ; ⃗ v )

Remarque

Comme tout vecteur se décompose suivant deux vecteurs non colinéaires, on peut positionner chaque point du plan comme extrêmité d'un vecteur d'origine l'origine du plan. Le repère (O;I;J) peut donc se noter (O, ⃗ i , ⃗ j ), ⃗ i étant le vecteur ⃗ OI et ⃗ j étant le vecteur ⃗ OJ .

Démonstration de l'unicité : supposer le contraire... : ...

...

Exemple n°2

ABC est un triangle. D est un point tel que ^⃗ AD = 3 ^⃗ AB – 2 ^⃗ AC .

a. Exprimez les vecteurs ⃗ BC et ⃗ BD en fonction des vecteurs ⃗ AB et

O x

y

o

A

a

_A

...

(6)

6/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

6/26

(7)

...

b. En déduire que les points B,C et D sont alignés.

...

Propriété n°3 : condition de colinéarité

Dans un repère (O, ⃗ i , ⃗ j ), dire que deux vecteurs ⃗ u et ⃗ v de coordonnées respectives ( ^x y ) ^et (

^x'^{y '}

) sont colinéaires revient à dire que

…...

Démonstration (proportionnalité...)

...

Exemple n°3 :

Dans un repère du plan (O, ⃗ i , ⃗ j ), soit ⃗ u ( ² 1 ) ^, ^⃗ ^v ( −2 ⁴ ) ^et ^w ^⃗ ( ³ ² ³ ⁴ )

1. Les vecteurs ⃗ u et ⃗ v sont-ils colinéaires ?

...

(8)

8/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

8/26

(9)

...

2. Les vecteurs ⃗ u et w ⃗ sont-ils colinéaires ?

...

Exercice n°4*

On considère le quadrillage régulier suivant :

Exprimez les vecteurs ⃗ AO , ⃗ FS , ⃗ GN et ⃗ DU en fonction des vecteurs :

a. ⃗ AF et ⃗ AB b. ⃗ AK et ⃗ AE c. ⃗ AG et ⃗ BC Exercice n°5

Ex.65 p.151 (Indice Bordas 2011) Exercice n°6

Ex.68 p.151 (Indice Bordas 2011) Exercice n°7*

Ex.91 p.152 (Indice Bordas 2011) Exercice n°8*

Ex.98 p.153 (Indice Bordas 2011) Exercice n°9*

Ex.67 p.151 (Indice Bordas 2011) Exercice n°10*

Ex.31 p,149 (Indice Bordas 2011) A

B C M

D E

F G

H I

J

K L

N O

P Q

R S

T

U V

W X

Y

Z a

b c

d

e f

g h

i

(10)

10/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

10/26

(11)

Activité d'approche n°2

Le plan est muni d'un repère (O;I;J) . Pour a, b, et c trois nombres réels fixés, avec (a,b) ≠ (0,0) , on s'intéresse à l'ensemble E des points M de coordonnées (x;y) tels que ax + by + c = 0.

A. Expérimentation.

**1. A l’aide de Géogébra, dans le ligne de saisie, taper l’équation ax + by + c = 0** de l’ensemble E. Faites varier les valeurs de a,b et c.

Quelle semble être la nature de l’ensemble E ? 2. Dans cette question, on prend a=2, b=1 et c=4.

a- Donnez dans ce cas l’équation de E.

b- Montrez que E est une droite en donnant son équation réduite.

c- Sur le fichier Géogébra, placez les curseurs sur les valeurs précédentes, faites afficher la grille (Options Avancé Préférences graphiques Grille → → →

cocher) et lisez graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à

→

l’origine de E. Les résultats sont-ils en accord avec l’équation trouvée en b- ? 3. Dans cette question, on prend a=2, b=2 et c=4.

a- Donnez dans ce cas l’équation de E.

b- Montrez que E est une droite en donnant son équation réduite.

c- Sur le fichier Géogébra, placez les curseurs sur les valeurs précédentes, faites afficher la grille (Options Avancé Préférences graphiques Grille → → →

cocher) et lisez graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à

→

l’origine de E. Les résultats sont-ils en accord avec l’équation trouvée en b- ? B. Preuve.

On reprend l'équation générale ax + by + c = 0.

1. Les cas particuliers :

a- Supposons que a=0. Montrez que E est une droite horizontale.

b- Supposons que b=0. Montrez que E est une droite verticale.

2. On suppose maintenant que a ≠ 0 et que b ≠ 0. Montrez que E est une

droite en donnant son équation réduite.

(12)

12/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

12/26

(13)

Cours n°3 II) Équation cartésienne de droites.

a) Vecteur directeur d'une droite

Définition n°2 : vecteur directeur

Un vecteur ⃗ u est un vecteur directeur d'une droite (d) s'il existe deux points distincts A et B de (d) tels que ⃗ AB = ⃗ u .

Remarques :

1) La direction d'un vecteur directeur de (d) définit la direction de la droite (d).

2) Tout vecteur non nul colinéaire à ⃗ u est aussi un ... ... de la droite (d) .

Exemple n°4

Construire la droite définie par le point A(2;1) et de vecteur directeur de coordonnées (3;–2).

Propriété n°4

Soit A un point du plan, ⃗ u un vecteur non nul et (d) la droite passant par A et de vecteur directeur ⃗ u .

Dire qu'un point M appartient à la droite revient à dire que les vecteurs

⃗ AM et ⃗ u sont c...

b) Équations cartésiennes d'une droite Propriété n°5

Soit a,b et c trois nombres réels tels que a ≠ 0 ou b ≠ 0.

Dans un repère, l’ensemble des points M (x;y) vérifiant la relation ... est une droite.

Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite (d).

Réciproquement, toute droite admet une ... ...

(14)

14/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

14/26

(15)

... ... ... ...

Démonstration Voir l'activité n°2

Propriété n°6

Soit (d) une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0, alors le vecteur

⃗ u ( ^.... .... ) un vecteur directeur de (d).

Réciproquement, si une droite (d) a pour vecteur directeur le vecteur

⃗ u ( ^.... .... ) alors elle admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0.

Démonstration :

Soit (d) une droite d'équation cartésienne ax + by + c = 0. Soit A(0 ; – c b ) et M(x;y) deux points de (d), et le vecteur ⃗ u ( ^.... .... ) ^. ^⃗ û êt ^⃗ ÂM ^sont-ils

colinéaires ?

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Supposons que (d) a pour vecteur directeur le vecteur ⃗ u ( ^−b ^a ) . Soit A(0 ; – c b ) et M(x;y) deux points de (d). ⃗ u et ^⃗ AM sont colinéaires, donc ...

…...

...

…...

...

…...

...

(16)

16/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

16/26

(17)

…...

Exemple n°5

Déterminer une équation cartésienne d’une droite connaissant un vecteur directeur et un point

Le plan est muni du repère (O, ⃗ i , ⃗ j ). On considère le point A(0;2) et le vecteur directeur ⃗ u ( ² 1 ) ^.

Déterminez une équation cartésienne de la droite (d) passant par A et de vecteur directeur ⃗ u .

…...

...

…...

Exemple n°6

Déterminer un vecteur directeur d’une droite connaissant son équation cartésienne.

1- Le plan est muni du repère

(O,

⃗ i

,

⃗ j

)

. On considère (d) d'équation cartésienne 3x + 2y – 6 = 0. Déterminez un vecteur directeur de (d).

…...

2- On considère (d) d'équation réduite y = 3x – 6. Déterminez un vecteur directeur de (d).

…...

Exercice n°11 Ex.124 p.154 Exercice n°12

Ex.130 p.154 Exercice n°13

Ex.129 p.154 Exercice n°14

Ex.134 p.154 Exercice n°15

Ex.116 p.154

Activité d'approche n°3

(18)

18/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

cartésiennes respectives ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0.

1. Donnez un vecteur directeur ⃗ u de (d) et un vecteur directeur ⃗ u ' de (d').

…...

2. Si ⃗ u et ^⃗ u ' sont colinéaires, que peut-on en déduire pour les droites (d) et (d') ?

…...

3. Donnez la relation sur a,b,a' et b' correspondante.

…...

Activité d'approche n°4

Le plan est muni du repère (O, ⃗ i , ⃗ j ) . Soit (d) et (d') deux droites parallèles entre elles, de vecteurs directeurs respectifs ⃗ u ( ^−b a ) ^et ^⃗ ^{u '} ( ^−b' a ' )

1. Donnez une équation cartésienne de (d) et une équation cartésienne de (d').

…...

2. Si les droites (d) et (d') sont parallèles entre elles, que peut-on dire de leurs vecteurs directeurs ?

…...

3. Donnez la relation sur a,b,a' et b' correspondante.

…...

18/26

(19)

Cours n°4

c) position relative de deux droites Propriété n°7

Le plan est muni du repère (O, ⃗ i , ⃗ j ). Soit (d) et (d') d'équations cartésiennes respectives ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0.

(d) et (d') sont parallèles si, et seulement si ...

Démonstration : voir activités 3 et 4.

Exemple n°7

Le plan est muni du repère (O, ⃗ i , ⃗ j ). Soit (d

1

),(d

2

) et (d

3

) d'équations cartésiennes respectives – 2 x – 5

2 y + 3 = 0, 4x + 5y + 6=0 et 5x –2y + 3 =0.

Déterminer la position relative des trois droites.

…...

Exercice n°16

Ex.149 et 150 p.155 (Indice Bordas 2011) Exercice n°17

Ex.153 et 154 p.155 (Indice Bordas 2011) **Exercice n°18* (Déclic 2011)**

ABC est un triangle. I et J sont deux points tels que ⃗ AI = 2 ⃗ AB et ⃗ AJ = 2 3

⃗ AC .

1. Dans le repère (A;B,C), calculez les coordonnées des points I et J.

2. Déterminez une équation cartésienne de(BC) et de (IJ).

(20)

20/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

20/26

(21)

Exercice n°19

1. Que fait cet algorithme ? 2. Complétez les lignes 21 et 22.

3. Testez votre algorithme avec M(3;1) et N(0;3)

Exercice n°20**

Ex.156 p.155 (Indice Bordas 2011) Exercice n°21* (Déclic 2011)**

On considère le triangle ABE rectangle en A avec AB=2 cm et AE = 4 cm. On construit « à

l'extérieur de ABE » les carrés ABCD et AEFG . Soit J le milieu du segment [AE].

1. Le repère (A;B,J) est-il orthonormé ? Justifiez.

2. a. Donnez les coordonnées des points C,E,B et F dans le repère précédent.

b. Démontrez que les droites (CF) et (BE) sont sécantes.

c. Démontrez que les droites (EB), (CF), et (GD) sont concourantes.

Exercice n°22* (Déclic 2011)**

Pour tout réel m , on appelle d

m

l'ensemble des points M dont les coordonnées (x;y) vérifient : (m + 1)y – (m + 2)x +1 =0.

1. Déterminez et construire d

2

.

2. Déterminez les réels m pour lesquels la droite d

m

est parallèle à l'un des axes de coordonnées.

4. Montrez que toutes les droites d

m

passent par un même point A dont on donnera les coordonnées.

Exercice n°23***

ABC est un triangle. I , J , et K sont les milieux respectifs des segments [AB],[AC]

et [BC] . Une droite (d) passant par A coupe (IJ) en M , une droite (d') passant par C coupe (JK) en N . À quelle condition les droites (AM) et (CN) sont-elles

parallèles ?

Controle n°1

(22)

22/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Ex.1 : 1 A;A;E;D;D;E 2.

⃗ EF

;

⃗ BC

;

⃗ CB

;

⃗ DB

;

⃗ BE

;

⃗ DF

; Ex.2 : (OA) et (BC) sont parallèles.

Ex.3 : y=12.

Ex.4 : a.

⃗ AO

= 2

⃗ AF

+ 4

⃗ AB

;

⃗ FS

= 2

⃗ AF

+ 3

⃗ AB

;

⃗ GN

=

⃗ AF

+ 2

⃗ AB

;

⃗ DU =4 ⃗ AF

-

3 ⃗ AB

b.

⃗ AO

=

⃗ AK

+

⃗ AE

;

⃗ FS

=

⃗ AK

+

3 4 ⃗ AE

;

⃗ GN

=

1 2 ⃗ AK

+

1 2 ⃗ AE

;

⃗ DU

=

1 2 ⃗ AK

-

3 4 ⃗ AE

c.

⃗ AO

=

− 7 ⃗ BC + 4 ⃗ AG

; ;;

⃗ DU

=

− 7 ⃗ BC + 4 ⃗ AG

Ex.5 : 1. non colinéaires. 2. colinéaires 3. colinéaires Ex.6 : 1. Vrai 2. Faux.

Ex.7 : 1. 3. =...^⃗AP

Ex.8 : 1.⃗IA=1

2⃗BA et ⃗AJ=1

2⃗AC2. ⃗IJ=⃗IA+....

Ex.9 : 1.t=−8

3 2. 4y+3x-5=0 Ex.10 : 1.2.

22/26

3

^⃗^AB

A C

M B

P 2 3 ⃗ BC

2 ⃗ BC

(23)

Ex.11 : -2x+y+3=0 Ex.12 : A

∉

(d)

Ex.13 : 1. (d2) 2.(d3) 3. (d6) 4. (d4) 5. (d5) 6. (d1) Ex.14 :

Ex.15 : -4x+5y+14=0

Ex.16 : 149 : non 150 : oui

Ex.17 : 153 : x+2y–1=0 154 : x–1=0 Ex.18 : 1. I( 2 ; 0 ) et J( 0 ; 2

3 ) 2. (BC) : -x-y+1=0 (IJ) : −2x−2 3y+4

3 =0 3. indic : O( ½ ; ½ ) Ex.19 : 1. Cet algorithme calcule l'équation cartésienne de la droite passant par les points N et M. 2.

xM-xN et xN×yM-yN×xM. 3.2x+3y-9=0 Ex.20 : 1. A'(7;2) et B'(3; 7

2 ). 2. (AA'):y=2;(BB') : 9

2x+6y- 69

2 =0. 3. G(5;2), ⃗AG (4;0),

⃗ AA '

(6;0), donc ⃗AG=2 3⃗AA'

Ex.21 : 1. Oui 2.a.C(-1;1);E(2;0);B(0;1);F(2 ;-2) 2.b.Indic : avec les vecteurs directeurs 2.c.

Indic :Calcul du pt d'intersection..

Ex.22 : 1. 3y-4x+1=0 (passe par (0 ;- 1

3 ) et (1;1)) 2. m=-2 ou m=-1 3. Indic : passe par (1;1).

Ex.23 : utiliser le repère (B;A,C)...

(24)

24/26 - Chapitre n°2 :Géométrie plane.

24/26

(25)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :