Correction DS1

1^ière S Correction DS1 16-17 Exercice n°1 : 1)

b) 𝒜SAR =^SAxAR

2 = ^𝑥

2 𝒜RBQ =^RBxBQ

2 =^5(6−𝑥)

2

c) A( 𝑥) = 6x6 – (𝒜SDP+ 𝒜PCQ+ 𝒜SAR+ 𝒜RBQ) = 36 –[6 𝑥 – 𝑥² +^𝑥

2+^5(6−𝑥)

2 ] =36 - 6 𝑥 + 𝑥² - ^30−4𝑥

2 A( 𝑥) = 36 - 6 𝑥 + 𝑥² -15+2 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 21.

2) Forme canonique deA( 𝑥).

α=^−b

2a =⁴₂ = 2 β = A( 2)=17 donc A( 𝑥)= (𝑥 – 2)² +17

3) A( 𝑥)=18  (𝑥 – 2)² +17 = 18 (𝑥 – 2)² = 1  𝑥 – 2 = 1 ou 𝑥 – 2=-1  𝑥 = 1 ou 𝑥 = 3 Donc l’aire est égale à 8 pour 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 3 .

4) A( 𝑥)= (𝑥 – 2)² +17 . A est une fonction polynôme de degré 2 donc sa courbe est une parabole.

De plus a=1>0 donc « ∪ » D’où :

Exercice n°2 :

Sur deux positions du point A, Il semble que l’observateur a raison

Posons y la distance entre le point éclairé (E) et le sol (S) . Posons 𝑥 la distance entre le point P et le point A.

Exprimons y en fonction de 𝑥.

La fonction f qui à 𝑥 associe y est la foncion définie par : f(x) =2 + ²_𝑥 Etudions les variations de f sur ]0 ; +∞[ : f(x) = 2+ 2x ¹_𝑥

Posons u la fonction définie par u(𝑥) = ¹_𝑥 .u est la fonction inverse. Elle est décroissante sur ]0 ; +∞[

2>0 donc u et 2u ont les mêmes variations donc 2u est décroissante.

On ajoute le réel 2 ,on ne change pas les variations donc la fonction f est décroissante.

Donc lorsque x va grandir f(𝑥) = y va diminuer .Donc l’observateur a raison.

x

A 21 33 17

a) ABCD est un carré .

Par construction des points P, Q, R et S , les triangles SDP et PCQ sont rectangles respectivement en D et C . 𝒜SDP =^SDxDP

2 𝒜PCQ =^PCxCQ

2

𝒜SDP =^{𝑥(6−𝑥)}

2 𝒜PCQ =^{𝑥(6−𝑥)}

2

Donc 𝒜SDP +𝒜PCQ = 2x𝑥(6−𝑥)

2 = 𝑥(6 − 𝑥)= 6 𝑥 – 𝑥²

Donc l’aire du quadrilatère est minimale pour x=2 et elle est égale à 17

A’

Le poteau et le mur sont perpendiculaires au sol donc ils sont parallèles

Appliquons le théorème de Thalès dans le triangle ASE.

AP

AS = ^HP_ES  ^𝑥

𝑥+1 = ²_y  𝑥y =2(𝑥 + 1)  y =^2(𝑥+1)

𝑥 = ^2𝑥

𝑥 +²

𝑥

 y = 2 + ²

𝑥

Exercice n°3 :

1. 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3 f est définie si et seulement si -2 𝑥 +3 ≥0  𝑥 ≤ ³

2 donc La fonction f est définie sur l’intervalle I=]-∞ ; ³

2 ].

2.

f(x) < 1  −2𝑥 + 3 <1 .On résoudra l’inéquation sur I=]-∞ ; ³

2 ].

−2𝑥 + 3 <1  ( −2𝑥 + 3)²<1²  -2x+3 <1 -2x<-2 x>1 𝑓 𝑥 > 1  x>1 et x∈]-∞ ; ³

2 ] donc x∈]1 ;1,5]

3. 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 3

 On pose u la fonction définie par u(x) = -2x+3 u est une fonction affine avec a=-2<0 donc u est décroissante.

 u et u ont les mêmes variations donc u est décroissante. Donc f est décroissante.

4. : 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) −2𝑥 + 3 = x-1

Cette équation est définie si et seulement si

-2x+3≥0 et x-1≥0 soit x ≤

2

et x≥1.

Donc on résoudra l’équation sur [1 ; ³

2 ]

−2𝑥 + 3 = x-1  ( −2𝑥 + 3)² = (x-1)²  -2x+3 = x² -2x +1  x² = 2  x = 2 ou x= - 2 2 ∈ [1 ; ³

2 ] mais - 2∈ [1 ; ³

2 ] donc l’équation a une seule solution comprise entre 1 et 1.5.C’est bien ce que l’on peut constater graphiquement.(voir plus haut)

Exercice n°4 : 1.

a) 𝑓 𝑥 =^3𝑥−5

𝑥−1 ; 3 − ²

𝑥−1 = ^{3 𝑥−1 −2}

𝑥−1 = ^{3𝑥−3−2}

𝑥−1 = ^3𝑥−5

𝑥−1= 𝑓 𝑥 b) 𝑓 ¹₂ =³

1 2−5

1 2−1 =

−7

−12 2

=⁻⁷

2 x−2 1 =7 𝑓 2 =^{3 2−5}

2−1 = 3 2−5 ( 2+1)

2−1 ( 2+1) =6+3 2−5 2−5

2−1 = ^{1−2 2}

1 =1-2 2

c) 𝑓 𝑥 =-3  3 − ²

𝑥−1 = -3  − ²

𝑥−1 = -6 -2=-6(x-1) 

-2=-6x+6 6x = 4  x=

6

=

3

C_f

y=1

y = x-1

2 3

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5 6

-1 -2

0 1

1

x y

Graphiquement :

∎f(x) <1 x∈]1 ;1,5]

∎La solution de l’équation : 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) est l’abscisse du point d’intersection des courbes Cf et Cg

2. 𝑓 𝑥 = 3 − ²

𝑥−1 Sur ]-∞ ;1[ et sur ]1 ;+∞[

a) On pose u la fonction définie par u(x) =

x

 u est une fonction affine avec a=1>0 donc u est croissante

 u et ¹

u ont des variations contraires donc ¹

u est décroissante.

 -2<0 donc ¹

u et -2x ¹

u ont des variations contraires donc -2x ¹

u est croissante.

 Donc 3 - ²_u est croissante. Donc la fonction f telle que . f(x) = 3 - _x−1² est croissante.

b) 1 < π< 2+ 2 or la fonction f est croissante sur]1 ; +∞ [ donc f(π) < f(2+ 2 ).

3. 𝑓 𝑥 ≥ 4  ^3𝑥−5

𝑥−1 ≥ 4  ^3𝑥−5

𝑥−1 - 4 ≥0  ^3𝑥−5

𝑥−1 – ^4(x−1)

x−1 ≥0  ^{3x−5−4x+4}

x−1 ≥0  ^−x−1

x−1 ≥ 0 Construisons un tableau de signes : -x-1 = 0 x = -1 x-1=0  x=1

x -∞ -1 1 +∞

-x-1 + 0

- -

- -

−x − 1 x − 1

-

-

x−1 ≥ 0 donc x∈ [-1 ; 1[

b) Donc sur [-1 ; 1[ 𝑓 𝑥 ≥ 4 donc 𝐶_𝑓 est au dessus de la droite d’équation y = 4 sur ]-∞ ; -1[ ∪]1 ;+∞[ 𝑓 𝑥 ≤ 4 𝐶_𝑓 est au dessous de la droite d’équation y = 4