D’après le théorème de Darmois, une statistique exhaustive pour λ est Sn = Pn i=1a(Xi)

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Correction du DM (TD5 exercice 6)

1. Estimation de λ

a. La loi de X param´etr´ee par λappartient la famille exponentielle:

lnfλ(x) = a(x)α(λ) +b(x) +β(λ), avec β(λ) = −λ, a(x) = x, α(λ) = lnλ et b(x) = −lnx!. D’après le théorème de Darmois, une statistique exhaustive pour λ est S_n = Pn

i=1a(X_i). Par ailleurs, d’après le théorème d’efficacité, il n’existe qu’une fonc- tion deλqui puisse être estimée efficacement: k(λ) =−β⁰(λ)/α⁰(λ) = λet son estimateur efficace estT_n=S_n/n= ¯X.L’estimateur des moments ˆΛ est solution de l’équation EΛˆ = ¯X ⇔ Λ = ¯ˆ X et on retrouve T_n. Pour l’EMV, voir cours. Enfin, d’après le TCL, on ap

(n)(Tn−λ)→^L N(0,√ λ).

b. T_n^∗ estime sans biais la variance de X qui vaut ici λ. Le fait que cet estimateur est sans biais a été démontré dans le cours et en TD.

c. PuisqueTnest efficace et qu’il existe au plus un estimateur efficace deλ,T_n^∗ne peut pas ˆetre efficace. Il est donc forcement moins bon queT_n(en terme d’EQM, donc de variance ici car les estimateurs sont sans biais).

2. Estimation de p=e^−λ a. p=P(X1 = 0)

b. Y suit une loi de Bernouilli de param`etre p. On a doncE(Y) =p, V(Y) =p(1−p). Y n’est pas un estimateur convergent depdonc il ne peut pas ˆetre un bon estimateur.

c. D’une part, et ce point aurait du être demandé explicitement dans l’énoncé, on vérifie que Sn est une statistique exhaustive de p.

En effet, la loi de X paramétrée par p appartient la famille exponentielle: lnf_p(x) =a(x)α(p) +b(x) +β(p),avecβ(p) = lnp, a(x) =x,α(p) = ln(−lnp) etb(x) =−lnx!.D’après le théorème de Darmois, une statistique exhaustive pourp est Pn

i=1a(X_i) = S_n. Ensuite, d’après le théorème de Rao-Blackwell, si Y est un estimateur sans biais dep etSn une statistique exhaustive de p, alors, l’estimateur ˆP_n=E(Y|S_n) est un estimateur sans biais de pau moins aussi bon queY. On va calculer cet estimateur. Pour

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cela, on rappelle que l’espérance conditionnelle de Z sachant T, Z et T variables aléatoires discrètes (resp. continues), E(Z|T), est la variable aléatoire de même loi que T prenant pour toute valeur t de T la valeur E(Z|T = t) = P

zzP(Z = z|T = t) (resp. E(Z|T =t) = R

Rzf(z|t)dz) avec la probabilité P(T =t) (resp. la densité de probabilitéf(t)). Ici, pour tout s= 0,1, . . . , E(Y|S_n) prend les valeurs

E(Y|S_n=s) = X

y

yP(Y =y|S_n=s) =P(Y = 1|S_n=s)

= P(X₁ = 0|S_n=s).

Calculons cette probabilit´e. Posons Sn−1=Pn

i=2Xi. On a : P(X₁ = 0|S_n=s) = P(X₁ = 0, S_n=s)

P(S_n=s) = P(X₁ = 0, Sn−1 =s) P(S_n=s)

= P(X1 = 0)P(Sn−1=s) P(S_n=s) .

Le fait de passer deSnàSn−1est nécessaire pour assurer l’indépendance des deux évènements intervenant dans la probabilité jointe et donc passer au produit des probabilités. Comme on sait que la somme de n variables indépendantes de même loi de Pois- son de paramètre λsuit une loi de Poisson de paramètre nλ, on peut calculer chacune des probabilités ci-dessus : P(X1 = 0) = e^−λ, P(Sn = s) = e^−nλ(nλ)^s/s!, P(Sn−1 = s) = e^−(n−1)λ((n− 1)λ)^s/s!.Donc,

E(Y|S_n=s) =

e^−λe^−(n−1)λ((n−1)λ)^s s!

e^−nλ(nλ)^s s!

= (1− 1 n)^s. Finalement,E(Y|S_n) = (1−_n¹)^Sⁿ.

d. Un estimateur naif est : ˆP_n^∗=e^−Tⁿ.Il est identique `a l’EMV de p.

En effet,

l(X₁, . . . , X_n, p) =nlnp+nX¯ln(−lnp)−lnY X_i!.

P_n^∗ satisfait donc:

δ

δpl(X₁, . . . , X_n, P_n^∗) = n

P_n^∗ + nX¯

P_n^∗lnP_n^∗ = 0, soitP_n^∗ =e^−Tⁿ.