Benmoussa Mohammed

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Généralité sur les suites avec :

n n n0

(u ) _ est une suite son premier terme est

n0

u Notions Caractères de la

suite Définitions et théorèmes

Majorée minorée bornée

n n n0

(u )

_ majorée  n n ;u_{0 n} M ( ou  n n ;u_{0 n} M )

n n n0

(u ) _ minorée  n n ;m₀ u_n ( ou  n n ;m₀ u_n )

n n n0

(u ) _ bornée

n n n0

(u )

_ est majorée et bornée ( ou  A ^; n n ; u_{0 n} Aou

 ^{ } 

Monotonie

n n n0

(u ) _ est

croissante ^{0 n n 1}

n n ; u u

_

  

n n n0

(u ) _ est

décroissante ^{0 n n 1}

n n ; u u

_

  

n n n0

(u ) _ est

constante ^{0 n 1 n}

n n ; u _ u

  

n n n0

(u ) _ est périodique de période T ^*

0 n T n

n n ; u _ u

  

Suite arithmétique

n n n0

(u ) _ sa raison

r  0

et son premier terme

n0

u

0 n 1 n

n n : u _ u r

   

Terme général

  n n : u

0 n

 u

n₀

  (n n )r

0 . ( c.à.d. u_nen fonction de n ) Propriété

caractéristique  p n ; q⁰  n ⁰ ; u_q u_p(q p)r ( avec q et p de )

La somme S_n

 

i n

n p

n i p p 1 p 2 n

i p

u u

S u u u u .... u n p 1

2



 



  

           

 



 

n

( le premier terme ) + ( le d

S nbre des termes

2

ernier terme )

 

Moyenne arithmétique

u

i

 a

et u_{i 1} b et u_{i 2} c trois termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison r on a :

a b   2c

Suite géométrique

n n n0

(u ) _ sa raison q0et son 1^er

terme

n0

u

0 n 1 n

n n : u _ q u

   

Terme général

  n n : u

0 n

 u

n₀

 q

^{(n n ) 0} ( c.à.d. u_n en fonction de n ) Propriété

caractéristique

q p

0 0 q p

p n ; q n : u u q

^

     

( avec q et p de )

La somme S_n

q1 :

n p 1

i n

i p p 1 p 2 n p

i p

q 1

S u u u u .... u u

q 1

  

 



  

               

q1 :

i n

i p

i p

S u u (n p 1)





    

Moyenne

géométrique

u

i

 a

et u_{i 1} b et u_{i 2} c trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q on a : a c b²

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Limite d’une suite Limite

Définition

On dit que la limite de la suite

 

n n n0

u _ est le réel lsi pour tout intervalle ouvert Ide centre l il existe un rang p tel que  n p on a u_nI on note _n

nlim u

 l ^.

propriétés

 Si la suite

 

n n n0

u _ a une limite alors cette limite est unique .



n

lim 1 0



n 

et ₂

n

lim 1 0



n 

et _i

n

lim 1 0



n 

avec



^{i *}



^et _n

^{lim 1 0}



n 





n



n

nlim u 0 nlim u

 l    l.



nlim n

   et ²

nlim n

   et ⁱ

n

lim n



 

avec



^{i *}



^et _n

^lim

_

^{n  }

^.

 Les propriétés des limites des fonctions restent valable pour les limites des suites .

 Exemple 1 :si ( _n

nlim u

 l et _n

nlim v

 l' ) alors _{n n}

nlim u v '

  l +l .

 Exemple 1 :si ( _n

nlim u

   et _n

nlim v

   ) alors _{n n}

nlim u v

   

convergence d’une suite

Si la limite de la suite

 

n n n0

u _ est finie ( c.à.d. _n

nlim u

 l ) on dit que la suite est convergente Si la limite de la suite

 

n n n0

u _ est infinie ( c.à.d. _n

nlim u

   ) ou

 

n n n0

u _ n’a pas de limite on dit que la suite est divergente

 Toute suite croissante et majorée est convergente . (càd la limite de la suite est fini )

 Toute suite décroissante et minorée est convergente .

Les critères de convergence

 

un n n_ 0et

 

n n n0

v _ et

 

n n n0

w _ trois suites tel que  n ; np p entier donné on a :

 Critère 1 : si (v_nu_nw_net _{n n}

nlim v nlim w

   l ) alors _n

nlim u

 l . (l



)

 Critère 2 : si (

v

_n

  .u

_net _n

nlim u

   ) alors _n

nlim v

   . ( avec

 > 0

)

 Critère 3 : si (

v

_n

  .u

_net _n

nlim u

   ) alors _n

nlim v

   . ( avec

 > 0

)

 Critère 4 : si ( v_n  l .u_net _n

nlim u 0

  ) alors _n

nlim v

 l . ( avec

 > 0

) Limites des suites particulières

n

u

n

 q

^{ Si}

^{q > 1}

^alors

n nlim q

   .  Si

q = 1

alors ⁿ

nlim q 1

  .

 Si

-1 q 1  

alors ⁿ

nlim q 0

  .  Si q 1 alors qⁿ n’ pas de limite .

r

u

n

 n

^Si

^{r > 0}

^alors _n^{lim n}_ ^{r  . Si}

^{r  0}

^alors _n^{lim n}_ ^{r 0 .}

 

n n

v = f u

f est une fonction continue en l et

 

n n n0

u _ est une suite tel que _n

n

lim u





l



^l



^{alors :}

la suite

 

n n n0

v _ définie par

v = f u

n

 

n est convergente et n

 

nlim v f

  l .

 

n+1 n

u = f u

f est une fonction et

 

n n n0

u _ est une suite de la forme

u

n+1

= f u  

n . si on a :

 f est une fonction continue sur un intervalle I .



^{f I}   ^{ I}

^.



u

n0

 I

.

 La suite

 

n n n0

u _ est convergente vers l .



^l



^.

Alors l est solution de l 'équation : xI / f x

 

x ( c.à.d. l vérifie ^{l= f}

 

^{l )}