Actions sur le cercle. Isabelle Liousse, Universit´e de Lille 1 19 juin 2006

(1)

Actions sur le cercle.

Isabelle Liousse, Universit´ e de Lille 1 19 juin 2006

Introduction.

♦♦♦♦♦

Très peu d’équations différentielles peuvent être explicitement résolues. Par- tant de ce constat, Henri Poincaré initia la théorie des systèmes dynamiques

“classiques” en substituant au calcul impossible des solutions d’une E.D.O l’étude qualitative des orbites du champs de vecteur associé. Pour décrire l’évolution du système au cours du temps, plus particulièrement pour décrire le comporte- ment assymptotique de ses solutionsφt(x) lorsque le tempst tend vers l’infini, Poincaré inventa d’importants concepts. En introduisant la notion d’application de premier retour, Poincaré associa au système continu : le champs de vecteur sur le tore un système discret : un homéomorphisme du cercle plus maniable et dont les orbites ont les mêmes comportements. Pour comprendre ces comportements, Poincaré définit entre autre le nombre de rotation d’un homéomorphisme du cercle et montra que“ ρ(f) ∈ ^Q

Z si et seulement si f poss`ede au moins une orbite p´eriodique.”

Un généralisation naturelle des systèmes dynamiques “classiques” consiste à ne plus imposer au temps d’être réel ou entier mais seulement d’être l’élément d’un groupe Γ. Le système est alors paramétré par ce groupe. En conclusion, un systeme dynamique general sur un espace topologique X est la donnée d’un morphisme d’un groupe Γ dans le groupe des homéomorphismes de X, autrement dit d’une action topologique de Γ surX.

(2)

L’étude des actions sur le cercle bénéficie d’un excellent survey de É Ghys ([Gh2001]“Groups acting on the circle”, L’Enseignement Mathématique) qui privilégie les aspects topologiques (parfois PL). Ici, nous avons choisi de mettre en avant certains aspects et méthodes typiques des situations C² et/ou PL.

Dans le premier chapitre de ce cours, nous d´efinissons les principales notions dynamiques (actions, orbites, minimaux, conjugaison).

Dans le second chapitre, nous énon¸cons et montrons un théorème dit “d’alternatives dynamiques” qui décrit les comportements dynamiques possibles pour un groupe G d’homéomorphismes du cercle : (1)- G a une orbite finie ou (2)- toutes les orbites de Gsont denses ou (3)- Gpossède un minimal exceptionnel (i.e. homéomorphe à l’ensemble triadique de Cantor).

Ensuite, nous donnons des exemples de ces différents types de dynamiques y compris en grande régularité pour (3) ce qui constitue un phénomène nouveau par rapport au cas d’un seul difféomorphisme. Nous énon¸cons et montrons un Théorème de Sacksteder qui dit qu’un groupe deC²-difféomorphismes du cercle avec minimal exceptionnel possède toujours des points hyperboliques. La preuve de ce théorème illustre bien les méthodes utilisées en dynamique des actions différentiables sur le cercle (contrôle de la distortion des dérivées).

Dans le troisième chapitre, suivant Plante, nous utilisons ce résultat de Sacks- teder pour montrer qu’un groupe deC²-difféomorphismes du cercle qui préserve une mesure sur le cercle n’a pas de minimal exceptionnel et en déduire qu’un groupe deC²-difféomorphismes du cercle non abélien et qui préserve une mesure a une orbite finie.

Dans le quatrième chapitre, nous considérons le cas d’actions PL et illustrons par quelques résultats l’idée que des arguments de nature dynamique permettent de démontrer des résultats de nature algébrique.

Nous regrettons de n’avoir pu aborder les importants résultats de E. Ghys sur les actions de réseaux de rang au moins 2 [ É Ghys : Actions de réseaux sur le cercle,Invent. Math. 137 (1999), 199-231] et de A. Navas sur les actions de groupes de Kazdhan [A.Navas : Actions de groupes de Kazhdan sur le cercle, Ann. Sci. École Norm. Sup. 35(2002), 749-758].

(3)

Table des mati` eres

I G´ en´ eralit´ es sur les actions sur le cercle. 5

1 D´efinitions, notations. 5

1.1 Actions de groupes. . . 5

1.2 Dynamique d’une action de groupe. . . 5

2 Premiers exemples. 6 2.1 Le cercle S¹. . . 6

2.2 Exemple 1. Action par translations. . . 6

2.3 Exemple 2. Actions par homographies. . . 7

2.4 Exemple 3. Actions PL. . . 7

II Alternatives dynamiques pour les actions sur le cercle 9

3 Ensembles Invariants- Ensembles minimaux. 11 3.1 D´efinition. Ensemble invariant. . . 11

3.2 Propri´et´es. . . 11

3.3 D´efinition. Ensemble minimal. . . 11

3.4 Propri´et´es des minimaux. . . 11

4 Alternatives dynamiques. 12 4.1 Th´eor`eme d’alternatives dynamiques . . . 12

4.2 Preuve du th´eor`eme. . . 12

5 Exemples de dynamiques. 13 5.1 Actions de Z. . . 13

5.2 Autres exemples. . . 14

5.3 Hom´eomorphismes de l’intervalles. . . 14

5.4 Minimaux exceptionnels dansDif f₊^∞(S¹) etP L⁺(S¹). . . 14

6 Le th´eor`eme de Sacksteder. 17

III Mesures invariantes. 22

7 Mesures invariantes. Généralités. 22 7.1 Support d’une mesure. . . 23

7.2 Mesures invariantes, d´efinitions. . . 23

7.3 Existence d’une mesure invariante.([Fathi1994] [Herman1979]) . . . . 24

7.4 Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff. (Has.Kat p136) . . . 25

(4)

8 Cas du cercle. Nombre de rotation et mesure invariante. 25

8.1 Nombre de rotation d’un hom´eomorphisme du cercle. . . 25

8.2 L’application nombre de rotation. . . 26

9 Théorème de Plante. 26 9.1 Enoncé et corollaires. . . 26

9.2 Preuve du th´eor`eme de Plante. . . 27

10 Th´eor`eme de Margulis. 27

IV Groupes d’hom´ eomorphismes affines par mor- ceaux. 28

11 Homéomorphismes affines par morceaux de l’intervalleI = [0,1]. 28 11.1 Définitions. Propriétés utiles. . . 28

11.2 Le th´eor`eme de Brin-Squier. . . 29

11.2.1 Enonc´e. ([BrSq 1985]) . . . 29

11.2.2 Preuve. . . 29

11.3 Le th´eor`eme de Plante-Thurston en PL. . . 29

11.3.1 Enonc´e. . . 29

11.3.2 Preuve. . . 30

11.4 Le Lemme de Koppel PL. . . 30

12 Sous-Groupes de type fini de PL ⁺(S¹). 30 12.1 D´efinitions. Exemples . . . 31

12.2 Isomorphismes entre groupes de Bieri-Strebel. . . 32

12.3 Etude des nombres de rotation. [Li2006] . . . 35

(5)

Premi` ere partie

G´ en´ eralit´ es sur les actions sur le cercle.

♦♦♦^♦^♦

R´ ef´ erences

[Gh2001] ´E Ghys : Groups acting on the circle, L’Enseignement Math´ematique 47(2001), 329-407

1 D´ efinitions, notations.

1.1 Actions de groupes.

Soit Γ un groupe et X un espace topologique. Une action (sous-entendue topologique) de Γ surX est la donn´ee d’un morphisme φde Γ dansHomeo(X) le groupe des hom´eomorphismes deX :

φ:

Γ →Homeo(X) γ 7→φ(γ)

Lorsqueφest injective, on dit que l’action estdele. Dans ce casφ(Γ) est un sous-groupe deHomeo(X) isomorphe `a Γ, on dit aussi que Γ estrepresentable dansHomeo(X).

Exemple 0.Se donner une action deZsurXéquivaut à se donner un homéomor- phisme f :X →X. De plus, l’action est fidèle si et seulement si f est d’ordre infini.

1.2 Dynamique d’une action de groupe.

Soit φune action du groupe Γ sur l’espace topologique X.

Soit x ∈X, on appelleorbite ^de ^x ^pour ^φ ôu ^φ-orbitele sous-ensemble de X noté φ(Γ).x défini par :

φ(Γ).x:={φ(γ)(x), γ ∈Γ}.

L’action φest ditetransitive si elle n’a qu’une seule orbite.

(6)

L’action φest ditelibresi pour tout x∈X, tout γ∈Γ on aφ(γ).x6=x.

Etudier la dynamique d’une action topologique c’est d´ecrire topologiquement les orbites et leurs adh´erences.

Pour comparer, classifier les actions topologiques d’un groupe abstrait fix´e, on dit que deux actionsφ1etφ2de Γ surX1respectivementX2sontconjuguees s’il existe un hom´eomorphisme h de X1et X2 tel que pour tout γ∈Γ, on ait :

φ2(γ) =h◦φ1(γ)◦h⁻¹

On v´erifie que le type topologique des orbites est un invariant de conjugaison (exercice).

2 Premiers exemples.

2.1 Le cercle S

¹

.

A homéomorphisme près, le cercle est l’unique variété compacte connexe de dimension 1. Il peut être défini de diverses manières :

- Le cercle unit´e du plan affine euclidienR² : C(0,1) ={ (x, y)∈R²:x²+y²= 1}.

- L’ensemble desnombres complexes de module 1: S¹={z∈C:|z|= 1 }.

- Le groupe des rotations du plan euclidien: SO(2,R) :={

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, θ∈[0,2π[}.

- La vari´et´e ^R

Z quotient de Rpar son sous-groupe des entiers :

c’est à dire l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation∼définie surR parx∼y ⇔x−y∈Z.

- La droite projective réelle P(R²) : l’ensemble des droites vectorielles de R², c’est à dire le quotient de R²\ {(0,0)}par la relation d’équivalence

(x, y)∼(x⁰, y⁰)⇔

x x⁰ y y⁰

= 0

- La droite projective réelle P(R²) s’identifie à ladroite réelle achevéeR∪ {∞}

par l’application (bien d´efinie) qui `a la classe du point (x, y) associe ^x_y.

2.2 Exemple 1. Action par translations.

Le groupe SO(2,R) agit simplement transitivement sur le cercle.

Le groupe SO(2,Q) agit sur le cercle et toutes ses orbites sont denses.

(7)

2.3 Exemple 2. Actions par homographies.

Consid´erons la transformation lin´eaire bijective deR²: x

y

7→A x

y

, o`u A=

a b c d

∈SL(2,R), le groupe des matrices 2×2 à coefficients réels et déterminant 1.

Cette transformation envoie droite sur droite, donc d´efinit une bijection fA

de P(R²) dans lui-même, appeléehomographie. Après identification de P(R²) à R∪ {∞}, l’homographiefAa pour expressionfA(x) = ax+b

cx+d (on afA(∞) = ^a_c etfA(−^d_c) =∞).

L’application :

SL(2,R) →Homeo(R∪ {∞})

A 7→fA

est une action deSL(2,R) sur le cercle.

Cette action n’est pas fid`ele car son noyau est{I =

1 0 0 1

,−I =

−1 0

0 −1

}.

Cependant, elle induit une action fid`ele du groupe quotientP SL(2,R) := SL(2,R) {I,−I} . Cette action contient les rotations, elle est transitive.

Pour obtenir des actions par homographies dynamiquement int´eressantes, on se restreint aux groupes Fuchsiens qui sont par d´efinition les sous-groupes discrets deP SL(2,R).

2.4 Exemple 3. Actions PL.

Pour cet exemple, nous identifions le cercle au quotient S¹= ^R

Z et notons Π la projection canonique deRsurS¹. Nous munissonsS¹de l’orientation induite par l’ordre usuel surRet notons Homéo⁺(S¹) le groupe des homéomorphismes de S¹ qui préservent l’orientation.

Soit f ∈Hom´eo⁺(S¹). On a le diagramme commutatif suivant : R

f˜

−−−−→ R

Π



y ^Π



 y S¹ −−−−→^f S¹

où ˜f est un homéomorphisme strictement croissant de R tel que ˜f(x + 1) = f˜(x)+1 appeléreleve de^f ^`âR, unique à composition au but par une translation entière près. Par conséquent, la différentiabilté, les valeurs des dérivées (à droite,

`

a gauche) ne dépendent pas du choix du relevé de f et on peut donner les définitions suivantes.

(8)

Un homéomorphismef ∈Homéo⁺(S¹) est ditane par morceaux ôu PL (de l’anglais “piecewise linear”) s’il existe une subdivision finie (di)1≤i≤pde [0,1]

telle la restriction de ˜f à [di, di+1] est une application affineλix+βi de R. Les di sont appelés les points de coupure de^f ^{et les}^λi les pentes de ^f^. L’ensemble noté P L⁺(S¹) des homéomorphismes affines par morceaux de S¹ préservant l’orientation est un sous-groupe deHoméo⁺(S¹) qui contient les rotations, son action est transitive. Comme dans le cas précédent, on obtient des actions PL intéressantes en considérant des “petits” sous-groupes deP L⁺(S¹).

Nous définirons des groupes de ce type dans le chapitre IV, citons le plus célèbre d’entre-eux legroupe de Thompson^T ^deshomeomorphismes dyadiques ^du cercle, c’est à dire l’ensemble desf ∈P L⁺(S¹) qui ont les propriétés suivantes : - les points de coupure de f et leurs images sont des nombres dyadiques c’est à dire des nombres de la forme ₂^Ns avecN etsentiers,

- les pentes de f sont des puissances de 2.

On v´erifie (

exercice

) que cet ensemble est bien un groupe. Historiquement, ce groupeT fut inventé par R.Thompson pour être le premier exemple de groupe de présentation finie infini simple.

Deux hom´eomorphismes dyadiques.

0 1

2

3

4 1

1 4 1 2

1

0 1

2

3

4 1

3 4

1 2

1

Figure 1.

Exercice.

Calculer les nombres de rotation de ces hom´eomorphismes.

(9)

Deuxi` eme partie

Alternatives dynamiques pour les actions sur le cercle

♦♦♦^♦^♦

Dans ce chapitre, le cercle S¹est identifié au quotient _Z^R et on noteπ :R→ S¹ la projection canonique. On munit S¹ de l’orientation induite par celle de R, on note [x, y] l’arc de cercle fermé de x à y orienté positivement (intervalle circulaire). De manière analogue, on écrit les arcs ouverts et semi-ouverts sous forme d’intervalles.

On munit S¹ de la distance d´efinie par :

d(x, y) =||x−y||=inf{|˜x−y|,˜ o`u ˜x,y˜parcourent les relev´es dex, y}.

On note |[x, y]|=|]x, y[|=d(x, y) la longueur d’un arc.

Soient f un homéomorphisme préservant l’orientation de S¹ et ˜f un relevé de f à R. La dérivabilité de ˜f, ses dérivées (à droite, à gauche) ne dépendent pas du relevé choisi.

Notations - Conventions.

On notef⁰: [0,1]→Rla dérivée de la restriction de ˜f à [0,1] etDf :S¹→Rla différentielle de f, elle est reliée àf⁰ parDf(π(x)) =f⁰(x). Puisquef préserve l’orientation,Df etf⁰sont à valeurs positives. Souvent, on fera les identifications suivantes :

- S¹ et [0,1[

- x∈[0,1[ etπ(x)∈S¹,

- f et la restriction de ˜f `a [0,1[ modulo 1 (voir figure 1), - Df etf⁰.

En particulier, on appliquera le th´eor`eme des accroissements sur le cercle sous la forme : soient a, b deux points de S¹, il existe c ∈ I = [a, b] tel que Df(c) = ^|_|^f^(I)_I _|^|.

Homéo⁺(S¹) est l’ensemble des homéomorphismes du cercle qui préservent l’orientation,

Dif féo^r₊(S¹) –avec r ∈ N∪ {∞}– est l’ensemble des difféomorphismes C^r du cercle qui préservent l’orientation,

P L⁺(S¹) est l’ensemble des hom´eomorphismes du cercle affines par morceaux et qui pr´eservent l’orientation.

On suppose connue la th´eorie de Poincar´e-Denjoy.

(10)

L’objet de ce chapitre est de :

- Prouver un théorème dit “d’alternatives dynamiques” que l’on peut voir comme une généralisation aux actions de groupes du théorème “classique” de Poincaré pour les homéomorphismes du cercle. Ce théorème décrit les minimaux pour une action sur le cercle.

- Etudier quelques limites et généralisations possibles du théorème de Denjoy pour les actions de groupe sur le cercle :

- limite : il existe des cantor invariants en régularité C^∞ et PL : les exemples de feuilletages espèces rares de G.Hector ;

- une généralisation : un théorème de Sacksteder.

R´ ef´ erences.

[Gh2001] ´E.Ghys :Groups acting on the circle,

L’Enseignement Math´ematique 47 (2001),329-407.

[He1976] G.Hector :Quelques exemples de feuilletages esp`eces rares Annales de l’institut Fourier26(1976), 239-264

[Hu1988] S.Hurder : Ergodic theory of foliations and a theorem of Sacksteder Lecture Notes in Math. 1342(1988), 291-328

[Hu1991] S.Hurder : Exceptionnal minimal sets of C^1+α-group action on the circle

Erg. Theory and Dynamical Systems11(1991), 455-467

[DKN2006] B.Deroin, V.Klepsyn, A.Navas : Dynamique unidimensionnelle en régularité intermédiaire, preprint ArXiv (2006).

[Sa1965] R.Sacksteder : Foliations and pseudogroups, Amer. Jour. Math. 87(1965) 79-102.

♦♦♦♦♦

(11)

3 Ensembles Invariants- Ensembles minimaux.

Soit X un espace m´etrique compact etG un sous-groupe de Hom´eo(X).

3.1 D´ efinition. Ensemble invariant.

Un sous-ensemble K de X est dit invariant par ^G ^ou ^G-invariant ^{si pour} toutg∈Gon a g(K)⊂K.

3.2 Propri´ et´ es.

Soit K,K1 et K2 des ensembles G-invariants. Alors : - pour tout, g∈G on a g(K) =K,

- l’adhérence K, la frontière ∂K, l’intérieur int(K) et l’ensemble K⁰ des points d’accumulation de K sont des ensemblesG-invariants.

- K1∩K2, K1∪K2 sont des ensembles G-invariants.

Preuves.(Exercice)

3.3 D´ efinition. Ensemble minimal.

Un compact non vide G-invariant K est dit minimal si les seuls ferm´es invariants qu’il contient sont∅ etK.

Exemple. Une orbite finie est un ensemble minimal.

3.4 Propri´ et´ es des minimaux.

1. Deux minimaux sont disjoints ou ´egaux.

2. Tout compact K non vide et G-invariant contient un ensemble minimal.

3. L’action poss`ede au moins un minimal.

4. L’orbite de tout point d’un minimal est dense dans ce minimal.

Preuve des propri´et´es.

La propriété 1 résulte du fait que l’intersection de deux compacts invariants est un compact invariant.

La preuve de la propriété 2 est basée sur leLemme de Zorn :“tout ensemble ordonné dans lequel toute partie totalement ordonnée est minorée admet un plus petit élément.”

Soit K un compact non vide G-invariant, consid´erons la collection C des compacts non vides G-invariants contenus dansK munie de la relation d’ordre donn´ee par l’inclusion.

Comme toute intersection de compact est compact, toute intersection d’en- semblesG-invariants estG-invariante et que toute intersection d´ecroissante de

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compacts non vides est non vide,Cvérifie les hypothèses du lemme de Zorn. En résulte queK contient un ensemble minimal.

La propriété 3 est une conséquence directe de la propriété 2 et de l’observation suivante : “l’adhérence de toute orbite est un compactG-invariant non vide”.

Cette même observation et la minimalité implique la propriété 4.

4 Alternatives dynamiques.

4.1 Th´ eor` eme d’alternatives dynamiques

Théorème (Poincaré).Soit G un sous-groupe de Homéo⁺(S¹).

Le groupe Gv´erifie l’un des trois cas exclusifs suivants : (1)- G a une orbite finie,

(2)- toutes les orbites de G sont denses

(3)- Gpossède un minimalK homéomorphe à l’ensemble triadique de Can- tor. Le minimal K est alors dit exceptionnel^.

Dans les situations (2) et (3), le groupeGposs`ede un unique minimal (S¹ dans (2) et K dans (3)) qui de plus est l’ensemble d’accumulation de touteG-orbite.

4.2 Preuve du th´ eor` eme.

Soit a un point de S¹, l’adhérence G(a) de la G-orbite G(a) de a est un compact G-invariant non vide. D’après la propriété (2) des minimaux, G(a) contient un minimalK.

L’ensemble K⁰des points d’accumulation deK et la fronti`ere∂K deK sont des compacts G-invariants. Ainsi par minimalit´e de K ils sont soit vides soit

égaux àK. Par conséquent, on peut distinguer les situations suivantes.

1- K⁰ =∅ alorsK est discret donc fini. Par cons´equent et par minimalit´e, K est une orbite finie.

2- K⁰ =K. Autrement dit,K est sans point isolé. D’autre part, ou bien : - ∂K = ∅ alors K = S¹ et toute orbite de G est dense (propriété 4 des minimaux),

ou bien

- ∂K = K alors int(K) = ∅. Par conséquent, K est un compact non vide d’intérieur vide et sans point isolé, il est homéomorphe au triadique de Cantor.

Nous devons maintenant ´etablir l’unicit´e de K. Nous montrons la

Propriété.SiGpossède un ensemble minimalK infini alors K est l’unique minimal deG et est l’ensemble d’accumulation (G(x))⁰ de toute orbite G(x).

(13)

Si K =S¹, la propri´et´e est claire puisque deux minimaux sont disjoints ou

´egaux et que toute orbite dans un minimal y est dense.

SiK est un ensemble de Cantor. Pour avoir la propriété, il suffit de montrer que pour toutx∈S¹, l’ensemble (G(x))⁰des points d’accumulation deG(x) est K·En effet, dans ce cas aucune orbite de Gne pourra être finie ou dense.

Soit x∈S¹.

Cas 1 : x ∈ K. Alors l’ensemble (G(x))⁰ est un compact contenu dans K, non vide (car contient K \G(x)) et G-invariant donc (G(x))⁰ = K, par minimalit´e de K.

Cas 2 : x /∈K. NotonsI la composante connexe deS¹\K qui contient x, c’est un intervalle ouvert ]a, b[ avecaet bdans K.

Soit y ∈ K. Puisque G(a) est dense dans K, il existe un suite γn(a) qui converge vers y et on peut supposer (quitte à extraire une sous-suite) que la distance de γn(a) à y décroit strictement.

Les intervalles γn(I) sont deux `a deux disjoints. – En effet :

- deux tels intervalles sont disjoints ou égaux, sinon il existe deux entiers n et n⁰ tels que γn(I)∩ γn⁰(I) 6= ∅ et γn(I) 6= γn⁰(I), alors une extrémité d’un de ces deux intervalles appartient à l’intérieur de l’autre intervalle donc au complémentaire deK, mais un tel point étant bord d’une composante connexe du complémentaire de K appartient nécesairement à K.

- s’ils sont égaux leurs extrémités sont égales, et ceci contredit le fait que la distance de γn(a) à y décroit strictement.–

Par cons´equent, la longueur desγn(I) tend vers 0. Finalementd(γn(x), y)≤ d(γn(x), γn(a)) +d(γn(a), y) tend vers 0 avecn. Donc γn(x) est une suite non stationnaire qui converge versy.

En conclusion, K ⊂ (G(x))⁰ et l’égalité résulte du fait que les γn(I) étant disjoints, un point de (G(x))⁰ appartient nécessairement à G(a) =K.

| a

| b

| x

| γ1(a)

| γ1(b)

| γ1(x)

| γn(a)

| γn(b)

| γn(x)

| y

5 Exemples de dynamiques.

5.1 Actions de Z .

Lorsque G = Z, les trois situations dynamiques proposées par le théorème d’alternatives dynamiques sont possibles :

La situation 1 est réalisée par les rotations rationnelles, La situation 2 est réalisée par les rotations irrationnelles, La situation 3 est réalisée par les exemples de Denjoy.

Mais, d’après le théorème de Denjoy, la situation 3 ne se produit pas lorsqu’on suppose suffisament de régularité pour G = Z, en particulier lorsqu’on

(14)

suppose que G⊂Dif f₊²(S¹). Nous verrons voir en 5.4 que ceci n’est plus vrai pour un groupe quelconque.

5.2 Autres exemples.

SO(2,Q) etSO(2,Z[¹₂]) agissent avec orbites denses surS¹alors que chacun de leurs éléments a des points périodiques.

5.3 Hom´ eomorphismes de l’intervalles.

Exercice.

SoitI = [0,1], montrer que le groupeHoméo⁺(I) des homéomor- phismes croissants de I s’injecte dans Homéo⁺(S¹) (au sens où il existe un morphisme injectif i de Homéo⁺(I) dans Homéo⁺(S¹)) et n’a pas de torsion.

D´ecrire les minimaux de i(G), pour un sous-groupeG de Hom´eo⁺(I).

5.4 Minimaux exceptionnels dans Dif f

₊^∞

(S

¹

) et P L

⁺

(S

¹

).

Ces exemples sont dus à G. Hector ([He1976]). On considèreGle sous-groupe deP L⁺(S¹) engendré par les deux homéomorphismesR etg représentés sur la figure ci-dessous, oùS¹est identifié au cercle ₁₂^R

Zde longueur 12. Un homéomor- phisme f de S¹ est identifié à une bijection de [0,12[ par f ≡f˜(mod12), où ˜f est un relevé de f à R. La loi de composition surG est notée “.”.

0 1 3 5 7 8 9 11 12

1 3 4 7 9 11

R

g g⁻¹

figure 3

(15)

On va montrer queG=< R, g >poss`ede un minimal exceptionnel qui est en fait le compl´ementaire de laG-orbite de l’intervalle circulaireI = [11,12[∪[0,1].

Décrivons précisément les générateurs deGet leurs propriétés.

R:x7→x+ 4 (mod12) est une rotation d’ordre 3.

g:











g(x) =x si x∈[11,12[∪[0,1]

g(x) = ¹₃(x−1) + 1 si x∈[1,7]

g(x) =x−4 si x∈[7,9]

g(x) = 3x−22 si x∈[9,11].

L’homéomorphisme R étant d’ordre 3 et les graphes de g et g⁻¹ étant symétriques par rapport à la seconde diagonnale du carré (càd la droite d’équation y= 12−x), on a les relations (*) (

exercice

) :

(∗) R³=Id R²=R⁻¹

g⁻¹R=R⁻¹g gR⁻¹=Rg⁻¹ Proposition 1. Soit γ∈Galors :

γ(I) est soit disjoint soit ´egal `a I et siγ(I) =I alorsγ_|I =Id_|I. Preuve de la proposition 1.

NotonsGer l’ensemble des éléments de Gqui s’écrivent : g^ε^pⁿ^pR^ε^P ... g^ε¹ⁿ¹R^ε¹, avecεi∈ {−1,1}et ni∈N^∗.

Lemme 1.Ecriture “réduite”’ des éléments deG.

Soit γ∈G alors il existe γ⁰∈Ger ∪ {Id}, ε∈ {−1,0,1} et p∈Z tels que : γ = R^ε γ⁰ g^p

Preuve du lemme 1. La preuve se fait par r´ecurrence sur la longueur relative

`

a{R, g} de γ.

Soit γ ∈ G, on définit l(γ) comme le nombre minimal de lettres nécessaires pour écrire γ comme mot enR et g etl(Id) = 0.

Sil(γ) = 0 alorsγ=Id=R⁰ Id g⁰, la propriété est clairement vérifiée.

Soit m∈N^∗, supposons (HR) : tout δ ∈G de longueur au plusm−1 s’´ecrit : δ = R^ε δ⁰ g^p

avec ε ∈ {−1,0,1}, p ∈ Z et δ⁰ ∈ Ger ∪ {Id} et montrons que tout mot de longueurm a aussi une telle ´ecriture.

(16)

Soit γ de longueur m, alors il existe ˜γ de longueur m−1 tel que l’un des deux cas suivant est v´erifi´e :

(1).γ = R^σγ˜ =

(HR)

R^σ R^ε γ˜⁰g^p et la propri´et´e est claire puisqueR²=R⁻¹ou (2). γ = g^σ ˜γ =

(HR)

g^σ R^ε ˜γ⁰ g^p o`u σ =±1.

(2.1). Siσε >0 alors on a l’´ecriture souhait´ee.

(2.2). Siσε≤0 alors ou bien :

(2.2.1)- ε 6= 0 alors ε = −σ et γ = R^σ g^−σ γ˜⁰ g^p, d’apr`es les relations (*), donc

- si ˜γ⁰=Id on a γ = R^σ g^p−σ = R^σ Id g^p−σ, - si ˜γ⁰∈Ger alors γ˜⁰ =g^ζnR^ζ ... et

γ = R^σ g^−σ g^ζn R^ζ ... = R^σ g^ζn−σ R^ζ ... g^p orζn−σgarde le signe deζnou s’annule et on a l’écriture souhaitée ; (2.2.2)- ε= 0 alorsγ = g^σ ˜γ⁰ g^p = g^ζn−σR^ζ ... g^p et pour la même raison que ci-dessus, on a l’écriture souhaitée.

Lemme 2.El´ements errants de G.

Si γer ∈Ger alors γer(I)⊂]1,3[∪ ]9,11[ =: J, donc γer(I) est disjoint de I.

Preuve du lemme 2.

Fixonsγer =g^pⁿ^pR^p... g¹ⁿ¹R¹ ∈Geret notonsgk=g^kⁿ^kR^k ... g¹ⁿ¹R¹. On va montrer, par r´ecurrence sur k= 1, ..., p, quegk(I)⊂J.

Pourk= 1, on ag1=g¹ⁿ¹R¹. Donc g1(I) =g¹ⁿ¹R¹(I) =

gⁿ¹(]3,5[)⊂]1,3[⊂J si 1= 1 g⁻ⁿ¹(]7,9[)⊂]9,11[⊂J si 1=−1 Supposons maintenant que gk−1(I)⊂J et montrons quegk(I)⊂J.

On a gk(I) =g^kⁿ^kR^kgk−1(I)⊂g^kⁿ^kR^k(J), par hypothèse de récurrence, d’où gk(I)⊂g^kⁿ^kR^k(J) =

gⁿ^k(R(J)) si k= 1 g⁻ⁿ^k(R⁻¹(J)) si k=−1

=

gⁿ^k (]5,7[∪]1,3[) ⊂ gⁿ^k(]1,7[) ⊂]1,3[⊂J si k= 1 g⁻ⁿ^k(]5,7[∪]9,11[)⊂g⁻ⁿ^k(]5,11[)⊂]9,11[⊂J sik =−1.

Preuve de la proposition 1.

Soit γ∈G, d’apr`es le lemme 1, γ(I) =R^εγ⁰g^p(I), avecγ⁰∈Ger∪ {Id}.

Si γ⁰ ∈ Ger alors γ(I) = R^εγ⁰(I) ⊂ R^ε(J) ⊂]1,3[∪]5,7[∪]9,11[ est bien disjoint deI.

(17)

Si γ⁰=Id alorsγ_|I =R^εg_|I^p =R^ε. Si ε6= 0 alors γ(I) est encore disjoint de I et siε= 0 on aγ_|I =Id_|I.J

G poss`ede un minimal exceptionnel.

Fait 1. G n’a pas d’orbite finie.

En effet, sinon il existe x0 ∈S¹ tel que G(x0) est finie, en particulier la g- orbite dex0 est finie,x0 est un point périodique de g, mais d’après le théorème de Poincaré tous les points périodiques de g ont la même période, org(0) = 0 doncg(x0) =x0 par suitex0∈ [11,12[∪[0,1] l’ensemble des points fixes de g.

Mais la suite gⁿR(x0) d´ecroit strictement vers 1, donc{gⁿR(x0), n∈N} est infini, ce qui contredit la finitude de G(x0).

Fait 2. G n’a pas d’orbite dense.

En effet, sinon il existe x ∈ S¹ tel que G(x) = S¹, en particulier on peut trouver deux points distinctsx⁰etx⁰⁰=γ(x⁰) deG(x)∩I, mais alorsγ(I)∩I 6=∅ etγ_|I 6=Id_|I ce qui contredit la proposition 1.

Conclusion.Le th´eor`eme d’alternative dynamique montre que seule la situation (3) est possible, autrement dit queG a un minimal exceptionnel.

Le cas C^∞.On peut modifiergdans des demi-voisinages des points 1+, 7−, 9+, 11− de manière à la rendre C^∞ et de sorte que la symétrie par rapport à la seconde diagonale soit préservée. Dans ce cas les relations (*) sont préservées ainsi que la preuve de l’existence d’un minimal exceptionnel.

6 Le th´ eor` eme de Sacksteder.

Théorème de Sacksteder.SiGest un sous groupe de type fini deDif f₂⁺(S¹) préservant un minimal exceptionnel K0 alors il existe x0 ∈ K0 et γ0 ∈ G tels que γ0(x0) =x0 et|Dγ0(x0)|<1.

On dit que x0 est un point hyperbolique deG.

Preuve du Th´ eor` eme de Sacksteder.

Soient G un sous-groupe de Dif f₊²(S¹) préservant un minimal exceptionnelK0etI0=]a, b[ une composante connexe du complémentaire deK0. On rappelle que deux composantes connexes du compléméntaire de K0 sont disjointes ou égales.

Plan de la preuve du th´ eor` eme.

Pour montrer l’existence d’un point hyperbolique dansK0, nous allons montrer que : \il existe un intervalle ferme ^V0 contenant strictement ^I0 et ^g ^∈ ^G tels que ^g(V0)⊂V0 et ^Dg|V0 ≤ ¹₄."

Ainsi, d’après le théorème du point fixe, il existe un unique x0∈V0

tel que g(x0) =x0. En fait {x0}=∩gⁿ(V0). Cet ensemble ∩gⁿ(V0) contient les valeurs d’adh´erence de la suite {gⁿ(a), n ∈ N} ⊂ K0. Donc limgⁿ(a) existe et vautx0 et puisqueK0 est ferm´e on a x0= limgⁿ(a)∈K0.

(18)

D´efinitions.

Fixons S ={g1, ..., gs} un système de générateurs de G. On définit ls :G → N, la fonction qui à un élément γ de G associe le nombre minimal d’éléments de S nécessaires pour écrire γ.

Soit x∈G(a), on d´efinit k(x) =inf{lS(γ),o`u γ∈Γ et γ(a) =x}.

Par hypothèsea∈K = (G(a))⁰ (théorème d’alternatives dynamiques). Donc, il existe une suitewn d’éléments deG telle que :

(i) wn(a)→a,

(ii) la suite wn(a) est strictement monotone, au sens o`u la suited(wn(a), a) d´ecroit strictement vers 0,

(iii) quitte `a changerwnsans changerwn(a), on peut supposer quek(wn(a)) = lS(wn).

On voit que la suitek(wn(a)) n’est pas bornée. En effet, sinon l’ensemble des k(wn(a)) serait fini et l’ensemble des wn(a) aussi ce qui contredit (ii). Par conséquent, quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer de plus que :

(iv) la suite k(wn(a)) est strictement croissante et tend vers +∞.

On pose I_k(w_n_(a)) = wn(I0) et W_k(w_n_(a)) = wn. Les Im sont deux à deux disjoints. –En effet, sinon il existem < m⁰ tels queIm=Im⁰ et puisque l’orientation est préservée on aWm(a) =Wm⁰(a) et la minimalité de m⁰=k(Wm(a)) est contredite.– Par suite, leurs longueurs |Im|=|Wm(I0)|tendent vers 0.

Proposition 1.SoientGun sous-groupe de type fini deDif f₂⁺(S¹) pr´eservant un minimal exceptionnel,]a, b[une composante connexe de son compl´ementaire et wn une suite d’entiers comme ci-dessus.

Alors il existe deux constantes C et δ0 > 0 telles que, pour tout m ∈ {k(wn(a)), n∈N} et pour tout x∈V0= [a−δ0, a+δ0]on a :

DWm(x)≤C |Wm(I0)|.

Conclusion : existence de l’intervalle de contraction V0. Maintenant, on choisitm∈ {k(wn(a)), n∈N} assez grand pour que :

- |DWm(x)| ≤ ¹₄, pour x∈V0:=]a−δ0, a+δ0[ et

(un tel choix est possible d’apr`es la proposition 1 et puisque|Wm(I0)| →0) - Wm(a)∈]a− ^δ₂⁰, a[ (un tel choix est possible d’apr`es (ii)).

Il ne nous reste plus qu’`a v´erifier queWm(V0)⊂V0.

On a |Wm([a−δ0, a+δ0])| ≤ ¹₄|[a−δ0, a+δ0]| = ^δ₂⁰ et Wm(a) ∈ Wm([a−δ0, a+δ0]) donc V0 ⊂ [Wm(a)− ^δ₂⁰, Wm(a) + ^δ₂⁰] ⊂ [a− δ0, a+δ0] =V0 car Wm(a)∈]a−^δ₂⁰, a[.

(19)

Preuve la proposition 1.

Hypothèses Générales. SoientG=< g1, ..., gs >un sous-groupe deDif f₊²(S¹) préservant un minimal exceptionnel K0 et ]a, b[ une composante connexe du complémentaire deK0. On pose θ= sup

i=1,...,s

|g_i⁰⁰ g⁰_i|.

Soient m ∈ N et W ∈ G tels que k(W(a)) = lS(W) = m. On ´ecrit W = gim◦...◦gi1. On poseh0=Idet pourj= 1, ..., mon posehj =gij◦...◦gi1, en particulierW =hm. Pourx∈S¹, on notexj =hj(x).

Remarques. - L’hypothèse de régularité C² implique que θest finie.

- Pour tout j= 0, ..., m, on ak(hj(a)) =j (

Exercice

).

Lemme 1 (lemme de distortion).Sous les hypothèses générales.

Pour tous x, y∈S¹, pour tout0≤p≤m on a :

−θ

p−1

X

j=0

|xj −yj| ≤log

Dhp(x) Dhp(y)

≤θ

p−1

X

j=0

|xj −yj|.

Preuve du Lemme 1.

|log

Dhp(x) Dhp(y)

|=|logDhp(x)−logDhp(y)|=

=|logD(gip ◦...◦gi1)(x)−logD(gip◦...◦gi1)(y)|= – Or D(gip◦...◦gi1)(x) =Dgip(gip−1◦...◦gi1(x))×...×Dgi1(x)

=Dgip(xp−1)×...×Dgij(xj−1)×...×Dgi1(x).

–

log

Dhp(x) Dhp(y)

=

p−1

X

j=0

logDgij(xj)−logDgij(yj)

≤

p−1

X

j=0

|logDgij+1(xj)−logDgij+1(yj)| ≤

p−1

X

j=0

|(logDgij)⁰(cj)||xj−yj|.

Pour cj ∈ [xj, yj], d’après le théorème des accroissements finis. Et par définition de θ, on a

|log

Dhp(x) Dhp(y)

| ≤θ

p−1

X

j=0

|xj−yj|.J

Lemme 2. Sous les hypothèses générales, on a (a)

m−1

X

p=0

Dhp(a)≤C0:= e^θ

|I0|, (b) DW(a)≤C0|W(I0)|.

(20)

Preuve du Lemme 2. Notons Jp = hp(I0), pour p = 0, ..., m. Puisque k(hm(a)) =m, pour tout p= 0, ...m, on ak(hp(a)) =p(exercice).

Par cons´equent les Jp sont deux `a deux disjoints et

m

X

p=0

|Jp| ≤1.

D’autre part, d’après le théorème des accroissements finis, pour toutp= 0, ..., m il existe d^p∈Jp tel queDhp(d^p) = ^|J_|I^p^|

0|. Donc : (∗)

m

X

p=0

Dhp(d^p)≤ 1

|I0|.

En utilisant le lemme 1, on obtient pour tout p= 0, ..., m: (∗∗) Dhp(a)≤Dhp(d^p) exp ( θ

p−1

X

j=0

|aj −d^p_j|)≤Dhp(d^p)e^θ,

car lesaj etd^p_j appartiennent `aJj et lesJj sont disjoints donc

p−1

X

j=0

|aj−d^p_j| ≤1, - Par suite, en sommant pourp= 0, ..., m−1 et en utilisant (∗), on obtient :

m−1

X

p=0

Dhp(a) ≤

m−1

X

p=0

Dhp(d^p) e^θ ≤ e^θ

|I0| :=C0. - Par ailleurs, (∗∗) avec p=m s’´ecrit :

(∗∗) DW(a) ≤ DW(d^m) e^θ ≤ e^θ|Jm|

|I0|. Finalement, Jm=W(I0) et on a le (b). J

Lemme 3. Sous les hypothèses générales. Fixons λ > 1 et δ > 0 tels que e^λδθC⁰≤λ. Alors pour tout x∈[a−δ, a+δ]on a :

DW(x)≤λDW(a).

Remarque:λ=eetδ = _θC¹

0 conviennent.

Preuve du Lemme 3. Fixons λ >1 et δ >0 tels quee^λδθC⁰ ≤λ.

PuisqueW =hm, on doit montrer queDhm(x)≤λDhm(a).On va montrer par r´ecurrence sur p= 0, ..., mqueDhp(x)≤λDhp(a), pour toutx∈[a−δ, a+δ].

Pourp= 0, on ah0=Id et l’estimation voulue est clairement v´erifi´ee.

Soit p∈ {0, ..., m}, on suppose que pour tout j∈ {0, ..., p−1}et pour tout x⁰∈[a−δ, a+δ], on aDhj(x⁰)≤λDhj(a).

(21)

Soit x∈]a−δ, a+δ[. D’apr`es le lemme 1, on a : Dhp(x)≤Dhp(a) exp(θ

p−1

X

j=0

|xj −aj|)≤Dhp(a) exp (θ|x−a|

p−1

X

j=0

Dhj(ej)), avecej ∈]a−δ, a+δ[ donné par le théorème des accroissements finis.

D’autre part, on a|x−a| ≤δ et pour toutj= 0, ....p−1, par hypothèse de récurrence, Dhj(ej)≤λDhj(a). Par conséquent :

Dhp(x)≤Dhp(a) exp (θδλ

p−1

X

j=0

Dhj(a))≤Dhp(a)e^θδλC⁰, d’apr`es le lemme 2.

Or, par hypoth`ese surλetδ, on ae^θδλC⁰ ≤λet finalement Dhp(x)≤λDhp(a).J

Preuve de la Proposition 1. Choisissonsδ0 etλcomme dans le lemme 3.

Pour tout x∈V0= [a−δ0, a+δ0], on a par le lemme 3 : DW(x)≤λDW(a)≤λC0|W(I0)|.

par le lemme 2 (b). Pour conclure, il suffit de poserC=λC0.J

G´ en´ eralisations.

En classe intermédiaire (entre C¹ et C²). Le problème de la validité en classe inférieure àC²a été initié par Hurder ([Hu 1988] et [Hu 1991]) et prolongé tout récemment par Deroin-Klepsyn-Navas ([DKN2006]) qui améliorent aussi la conclusion en prouvant l’existence dans G d’éléments n’ayant que des points fixes hyperboliques.

Remarque sur le cas PL.Il est facile de voir qu’avec de légères modifications des preuves, on peut avoir les estimations voulues sur l’intervalle [a, a+δ]. Par contre, pour les estimations sur l’intervalle [a−δ, a] les arguments du casC²ne fonctionnent plus. En effet, le lemme 1 (de distortion) et par suite le lemme 3 utilisent fortement la continuité des dérivées des éléments deG. Ils ne sont plus valables dans le cas PL lorsque le minimal contient un point de coupure d de l’un des générateurs, en effet l’orbite dedrencontre [a−δ, a] une infinité de fois etDWm pour m assez grand pourrait avoir un grand nombreNm de sauts sur [a−δ, a] et la majoration de ^DW_DW^(x)_(a) dépendrait deNm.

Exercice.Trouver des points hyperboliques dans l’exemple de la section 5.3.

♦♦♦♦♦

(22)

Troisi` eme partie Mesures invariantes.

♦♦♦^♦^♦

L’objet de ce chapitre est d’étudier les groupes d’homéomorphismes (difféo- morphismes) du cercle qui ont la propriété de préserver une mesure finie.

Nous rappelons quelques généralités sur les mesures : support, invariance, théorème de Krilov-Bogolioubov. Les références principales pour ces généralités sont : [Fathi1994], [Has-Kat1995], [Herman1979] et [Walters1985].

Ensuite, nous prouvons un résultat de J. Plante ([Pl1975]) qui dit qu’un groupe deC²-difféomorphismes qui préserve une mesure ne peut avoir de minimal exceptionnel.

R´ ef´ erences.

[Fathi 1994], A. Fathi, cours de l’école d’été, Grenoble 1994.

[Herman1979], M. Herman :Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 49, (1979), 5- 234.

[Has-Kat1995], B.Hasselblatt et A.Katok :Introduction to the modern theory of dunamical systems, Cambridge University Press (1995)

[Ma2000], G. Margulis : Free subgroups of the homeomorphsim group of the circle.; C.R.A.S331 (2000) 669-674

[Pl1975], J.Plante :Measure preserving pseudogroups and a theorem of Sackst- der, Ann. Inst. Fourier25 (1975), 237-249.

[Walters1985], P.Walters An introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag (1985).

7 Mesures invariantes. G´ en´ eralit´ es.

Soit X un espace métrique compact muni de B(X) la tribu des boréliens de X. SoitG un sous-groupe du groupeHoméo(X) des homéomorphismes deX.

(23)

7.1 Support d’une mesure.

Définition. Soit µ:B(X)→ R⁺ une mesure borélienne finie, on appelle support ^de ^µ le sous-ensemble de X noté suppµ défini par suppµ := {x ∈ X tel queµ(U)>0, pour tout ouvert U contenant x }.

Propri´et´es du support.

(1) - suppµest compact.

(2) - µ(X\suppµ) = 0.

(3)- Si µ(A) =µ(X) alorssuppµ⊂A.

En d’autre termes, on peut voir le support d’une mesure comme le plus petit ferm´e de µ-mesure pleine.

Preuves.(

exercice

)

7.2 Mesures invariantes, d´ efinitions.

Soit µ:B(X)→R⁺ une mesure bor´elienne finie.

Propriétés-Définitions. Soit g ∈ Homéo(X). Les propriétés suivantes sont

´equivalentes :

- la mesure image g_∗µ de µparg est égale à µ, - pour tout borélienA on a µ(g⁻¹(A) =µ(A), - pour tout borélienA on a µ(g(A)) =µ(A), - pour tout fonction continue φ:X→R, on aR

X(φ◦g) dµ=R

Xφ dµ.

Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit queµ estinvariante par ^g.

Exercice

: les preuves.

D´efinition.On dit que la mesure µest invariante parG, si pour tout g∈G, la mesureµest invariante parg.

Propri´et´es. Soit µune mesure finie invariante par G.

(1)- Le support de µ est un ensemble invariant parG.

(2)- Le point a∈X est un atome de µsi et seulement si laG-orbite deaest finie.

(2’)- Si x /∈G⁰(x) (i.e il existeV un voisinage de xtel que G(x)∩V ={x}) etx∈suppµalors G(x) est finie.

(3)- Lorsque X = S¹, si G n’a pas d’orbite finie alors µ est sans atome et son support est l’unique minimal deG(cercle ou Cantor).

Preuves.

(1) (2) et (2’) : Exercices.

(3)- Le fait que µsoit sans atome résulte du point précédent. D’après (1), le support deµest un fermé,G-invariant non vide il contient donc l’unique minimal de G, si ce minimal est S¹ alors suppµ=S¹ et on a fini. Si ce minimal est un

(24)

CantorK, on doit montrer que le support deµest contenu dansK. Sinon, soit x∈suppµ∩(S¹\K) et ]a, b[ la composante connexe du compl´ementaire deKqui contientx. Par d´efinition du support on aµ(]a, b[) =δ >0 etµ(g(]a, b[)) =δ >0 pour tout g ∈ G, par invariance de µ. MaisS¹ ⊂ [

g∈G

g(]a, b[ est de µ-mesure infinie car peut-être écrit comme réunion infinie (car l’orbite de a est infinie) d’ouverts deux à deux disjoints tous deµ-mesureδ. Ce qui contredit le fait que µsoit finie.

7.3 Existence d’une mesure invariante.

([Fathi1994] [Herman1979])

Théorème de Krilov-Bogolioubov. SoitX un espace métrique compact, on note B(X) la tribu des boréliens de X. Soit f :X → X un homéomorphisme, alors il existe une mesure de probabilité sur (X,B(X))invariante parf.

Preuve. Par compacité pour la topologie faible de l’espace M(X) des mesures boréliennes de probabilité surX on a :

Pour toute suite µn ∈ M(X) et toute suite d’entiers mn → +∞, il existe une suitenj →+∞telle que la suite de mesures 1

mnj

m_nj

X

i=0

f_∗ⁱµnj converge, quand j→+∞ vers une mesure invariante par f.

En particulier, si xn est une suite de points dans X, on peut trouver une suite nj → +∞ tels que la suite de mesure 1

mnj

m_nj

X

i=0

f_∗ⁱδx_nj converge, quand j→+∞ vers une mesure invariante par f.

Théorème de Markov-Kakutani. Soit X un espace métrique compact, on noteB(X)la tribu des boréliens deX. Soitf, g:X →Xdeux homéomorphismes commutant, alors il existe une mesure de probabilité sur (X,B(X)) qui est invariante par f et parg.

Si on applique le fait ci-dessus en choisissant comme suite de mesuresµ(p,q)= δf^p◦g^q(x0) = δg^q◦f^p(x0) on obtient comme limite une mesure qui est `a la fois invariante parf etg.

Comme corollaire, on obtient que tout groupe ab´elien de type fini pr´eserve une mesure.

Exercice.

Montrer que si G poss`ede une orbite finie alors G pr´eserve une mesure.

Un exemple de groupes sans mesure invariante.

Exercice.

Soit f est un difféomorphisme du cercle avec une dynamique nord-sud. Montrer que siµf est une mesure invariante parf alors le support de µf est {N, S} les deux points fixes hyperboliques de f. En déduire un groupe engendré par deux élémentsf etg ne possède pas de mesure invariante.

(25)

7.4 Le th´ eor` eme ergodique de Birkhoff.

(Has.Kat p136)

Soit (X, µ) un espace de probabilit´e et T :X → X une transformation qui pr´eserve µalors pour toute fonction φ∈L¹(X, µ) on a :

1 n

n−1

X

k=0

φ(T^k(x))→ Z

X

φdµ

pour µpresque tout pointx∈X.

8 Cas du cercle. Nombre de rotation et mesure invariante.

Nous reprenons les hypoth`eses, conventions et notations du chapitre II.

8.1 Nombre de rotation d’un hom´ eomorphisme du cercle.

Proposition-d´efinition du nombre de rotation.

Soit g ∈Homéo⁺(S¹) et ˜g un relevé deg à R. Alors la suite _n¹(˜gⁿ(x)−x) converge uniformément vers une constante ρ(˜g).

De plus, π(ρ(˜g))∈S¹ ne dépend pas du choix de relevé ˜g de get est appelé lenombre de rotation de ^g.

Théorème Soit g ∈ Homéo⁺(S¹) et ˜g un relevé de g à R. La fonction φ˜:= ˜g−Id_R étant Z-périodique s’écrit φ˜=φ◦π, où φ:S¹→ R est unique à composition au but par une translation entière près.

Si µest une mesure de probabilit´e invariante par g, alors on a : ρ(˜g) =

Z

S¹

φdµ.

Preuve. Soit x∈R, on ´ecrit :

˜

gⁿ(x)−x= ˜gⁿ(x)−g˜ⁿ⁻¹(x) +...+ ˜g(x)−x=

n−1

X

i=0

˜

gⁱ⁺¹(x)−g˜ⁱ(x) =

n−1

X

i=0

φ(˜˜ gⁱ(x)) =

n−1

X

i=0

φ(π(˜gⁱ(x)) =

n−1

X

i=0

φ(gⁱ(π(x))).

Par cons´equent, 1

n(˜gⁿ(x)−x) = 1 n

n−1

X

i=0

φ(gⁱ(π(x))).

Par d´efinition du nombre de rotation le terme de gauche tend versρ(˜g) pour tout x et le terme de droite tend vers R

S¹φdµ pour µ-pp π(x) (donc pour au moins une valeur dex) d’après le théorème ergodique de Birkhoff. J

(26)

8.2 L’application nombre de rotation.

Théorème.Soit G un sous-groupe deHoméo⁺(S¹) et µune probabilitéG- invariante,

alors l’application nombre de rotation ρ:

G →S¹

g 7→ρ(g) est un morphisme.

Preuve. Nous allons utiliser le théorème précédent.

Soient f [resp. g] un homéomorphisme du cercle, ˜f [resp.˜g] un relévé de f [resp. g] et φf [resp. φg] : S¹ → R choisie pour que ˜f −Id_R = φf ◦π [resp.

˜

g−Id_R =φg◦π].

Fait. On peut choisir φg◦f =φg◦f +φf. –En effet, ˜g◦f˜est un relev´e de g◦f et

(˜g◦f˜−Id_R)(x) = ˜g( ˜f(x))−x= ˜g( ˜f(x))−f˜(x) + ˜f(x)−x

= (φg◦π◦f)(x)+(φ˜ f◦π)(x) = (φg◦f◦π)(x)+(φf◦π)(x) = ((φg◦f+φf)◦π)(x).

Finalement, l’application φg◦f +φf convient.–

Conclusion.D’après le théorème précédent, on aρ( ˜g◦f) = R

S¹φg◦f dµ=R

S¹φg◦f +φf dµ=R

S¹φg◦f dµ + R

S¹φf dµ=ρ(˜g) +ρ( ˜f), après changement de variabley=f(x) dans la première intégrale.

Exercice. Montrer que le groupe de Thompson T ne pr´eserve pas de mesure sur le cercle.

9 Th´ eor` eme de Plante.

9.1 Enonc´ e et corollaires.

Théorème de Plante. Si G est un sous-groupe de type fini de Dif f₊²(S¹) qui préserve une mesure de probabilité sur S¹ alors G n’a pas de minimal exceptionnel.

Corollaires au th´eor`eme de Plante.

(1) Si G est un sous-groupe de type fini de Dif f₊²(S¹) qui préserve une mesure de probabilitéµ sur S¹ alors ou bien Ga une orbite finie ou bien G est abélien.

(2) Si G est un sous-groupe ab´elien de type fini de Dif f₊²(S¹) agissant li- brement sur S¹ alors l’action de G est minimale.

Preuve du Corollaire.

(1)- En effet, siGn’a pas d’orbite finie, le théorème de Plante combiné avec le théorème d’alternative dynamique indiquent que G a pour unique minimal S¹. Ainsi le support de µ est égal à S¹ (d’après la propriété 3 des mesures invariantes). D’autre part la mesure µ est sans atome, car G n’a pas d’orbite finie (propriété 2 des mesures invariantes). Par conséquent :

(27)

Exercice.

L’application définie parh(x) =π(µ([0, x[), lorsqueµest une mesure sans atome et de support total est un homéomorphisme deS¹qui conjugue Gà un sous-groupe d’homéomorphismes deS¹qui préservent la mesure de Haar.

Puisqu’un homéomorphisme de S¹ qui préserve la mesure de Haar est une rotation, le groupeG est conjugué (donc isomorphe) à un groupe de rotations, ainsiG est abélien.

(2)- Exercice.

9.2 Preuve du th´ eor` eme de Plante.

Par l’absurde, d’après le théorème de Sacksteder, il existex0∈K0 un point hyperbolique deGassocié àγ0∈G.

Fait 1.Il existe un intervalle ]a, b[ qui contient x0 tel queµ(]a, b[) =µ{x0}.

– En effet, Soit I = [a, b] un intervalle ferm´e contenant x0 et sur lequel Dγ0 < 1. On a µ(]γ₀ⁿ(a), γ₀ⁿ(b)[) = µ(]a, b[) pour tout n ∈ N et l’intersection d´ecroissante \

n≥0

]γ₀ⁿ(a), γ₀ⁿ(b)[= {x0} donc µ({x0}) = µ(\

n≥0

]γ₀ⁿ(a), γ₀ⁿ(b)[) = limn µ(]γ₀ⁿ(a), γ₀ⁿ(b[) =µ(]a, b[).–

Fait 2. L’ensemble [

g∈G

g(]a, b[) =S¹.

–Car le compl´ementaire de cet ensemble est un ferm´e G-invariant qui ne contient pasx0, il est vide, car sinon il contiendrait un minimal qui ne contient pasx0 ce qui est impossible car l’unique minimal est K0.–

Conclusion. Si µ{x0} = 0, alors 0 = µ([

g∈G

g(]a, b[) = µ(S¹) ce qui est impossible. Donc µ{x0} >0 ce qui est impossible car l’orbite de x0 est infinie (puisque dense dansK0).

Nous terminons cette section par l’énoncé d’un théorème qui précise des sous-groupes de Homéo⁺(S¹) admettant des mesures invariantes : ce résultat peut se voir comme une “alternative de Tits dynamique “.

10 Th´ eor` eme de Margulis.

Si Gun sous groupe de Hom´eo⁺(S¹)ne contient pas de sous groupe libre de rang 2 alors G pr´eserve une mesure sur S¹.

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(28)

Quatri` eme partie

Groupes d’hom´ eomorphismes affines par morceaux.

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Dans ce chapitre, nous allons par quelques théorèmes illustrer l’idée que des arguments de nature dynamique permettent de démontrer des résultats de nature algébrique.

R´ ef´ erences.

[BS1985] R. Bieri and R. Strebel :On groups of PL homeomorphisms of the real line.Preprint, Math. Sem. der Univ. Frankfurt, Frankfurt am Main (1985).

[BrSq1985] M. G. Brin, C. Squier :Groups of piecewise linear homeomorphisms of the real line.Invent. Math.79 (3), 485–498 (1985).

[CFP1996] J. Cannon, W. Floyd, W. Parry : Introductory notes on Richard Thompson’s groups.L’Ens. Math. 42, 215-256 (1996).

[GhSe1987] ´E. Ghys, V. Sergiescu :Sur un groupe remarquable de diff´eomorphismes du cercle.Comm. Math. Helv.62, 185-239 (1987).

[Li2006] I. Liousse :Rotation numbers in Thompson-Stein groups and applica- tions.preprint ArXiv (2006)

[St1992] M. Stein :Groups of piecewise linear homeomorphisms, Trans. A.M.S.

332, 477-514 (1992).

11 Hom´ eomorphismes affines par morceaux de l’intervalle I = [0, 1].

11.1 D´ efinitions. Propri´ et´ es utiles.

Soit f un hom´eomorphisme deI (ouS¹). On note : F ixf l’ensemble des points fixes def,

suppo(f) le support ouvert def c’est `a dire le compl´ementaire de F ixf, [g, f] := g◦f ◦g⁻¹◦f⁻¹le commutateur de f etg.