Séquence 4 : Triangle (1)
Plan de la séquence :
I- Rappels : Construction des triangles.
1- Méthode de construction
2- Nature d’un triangle
II- Inégalité triangulaire
III- Droites remarquables d’un triangle
1- La médiatrice
a- Construction
b- Propriété
c- La médiatrice dans le triangle
2- La hauteur
Séquence 4 : Triangle (1)
I- Rappels : Construction des triangles :
1- Méthode de construction :
On peut construire un triangle en respectant un programme de construction :
Données Programme de construction 1- Dans le triangle ABC on a : * On construit un côté : (par exemple [BC]) AB = 3 cm ; AC = 5 cm ; BC = 7 cm * On reporte la mesure du second côté [AC]
et on met une trace
* On reporte la mesure du troisième côté [AB]
En mettant une marque
* A l’intersection des deux marques se trouve le point A.
2- BC = 6cm ; AB = 3cm * On construit le côté [BC]
𝐴𝐵𝐶̂ = 45° * On construit l’angle 𝐴𝐵𝐶̂
* On reporte la mesure du côté [AB] en mettant une marque
* l’intersection avec le côté de l’angle donne le point A
1- BC = 6cm ; 𝐴𝐵𝐶̂ = 34° * On construit le côté [BC]
𝐵𝐶𝐴̂ = 27 ° * Construire les deux angles 𝐴𝐵𝐶̂ et 𝐵𝐶𝐴̂ * Les deux côtés des angles se croisent en A
2- La nature d’un triangle : Triangle rectangle
en A
Triangle isocèle Triangle équilatéral
Triangle quelconque
L’hypoténuse est le côté le plus long
ABC est un
triangle isocèle en A.
Les 2 angles à sa base sont égaux :
𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵̂
Il a un axe de symétrie
Ses 3 angles mesurent 60°.
Il a 3 axes de symétrie
Ni rectangle, ni isocèle et ni équilatéral
Myriade : Faire les exercices 2 à 6 P186 et 7à 9 P 187 Activité « allumettes ». Mettre en évidence la propriété Application : faire l’exercice 2 P167
II- Inégalité triangulaire : Propriété :
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Illustration : Soit AB<AC+CB AC<AB+CB CB<AC+AB
Pour vérifier qu’un triangle est constructible, on vérifie que la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres
Peut-on construire un triangle ABC tel que AB = 3 cm, BC = 8 cm et AC = 4 cm ? La plus grande longueur est BC, et BC > AB+AC
Donc le triangle n’est pas constructible.
B
Si BC = 8 cm, il est impossible de construire un point A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm.
B C A
A
B
A C
8 cm
×
× × C ×
Peut-on construire un triangle CHU tel que CH = 5 CM, CU = 3 cm et UH = 4 cm ? La plus grande longueur est CH, et CH < CU+UH
Donc le triangle CHU est constructible.
Faire l’exercice 4 P167
Cas particulier : égalité triangulaire :
Propriété :
Soient A, B et C trois points distincts.
Si B ϵ [AC] alors AC = AB + AC
Si AC = AB+BC, alors B ϵ [AC] : les points A, B et C sont alignés.
Soient A, B et C trois points distincts tels que : AB = 1.5 cm, BC = 2.5 cm et AC = 4 cm On a AC = AB+BC.
On peut donc en conclure que les points A, B et C sont alignés.
On dit que le triangle ABC est aplati.
Faire l’exercice 25 P169
III- Droites remarquables d’un triangle III-1-La médiatrice
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
a).Construction Méthodes :
1. On peut construire une médiatrice à l’aide d’une équerre graduée : - on place le milieu I du segment [AB]
- On trace la droite (d) perpendiculaire au segment [AB] au point I.
5 cm
H
8 cm
𝑈2
8 cm
𝑈2
8 cm
C
8 cm
A
8 cm
C
8 cm
B
8 cm
× × ×
× ×
×
×
2. Pour construire la médiatrice d’un segment [AB], on peut placer à l’aide d’un compas deux points
A l’aide du compas, on prend une ouverture plus grande que la moitié du segment [AB]. On pointe en A et on trace un arc de cercle de part et d’autre du segment.
On garde la même ouverture et on pointe cette fois-ci sur B afin de tracer deux arcs de cercles coupants les deux premiers.
On obtient deux points équidistants des extrémités que l’on rejoint en traçant une droite qui sera donc la médiatrice du segment [AB].
b).Propriété:
A et B désignent deux points distincts.
La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble de tous les points situés à égale distance de A et de B :
Si un point M appartient à la médiatrice de [AB], alors MA=MB
Si MA=MB, alors le point M appartient à la médiatrice de [AB]
Faire l’exercice 8 P167 et 26, 27, 28 P169 Faire l’activité 4 P163
C) Les médiatrices dans un triangle :
Les médiatrices d’un triangle sont les médiatrices de ses côtés.
Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes (se coupent en un même point) et ce point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle
Application : Faire l’exercice 11 P167 en premier puis,
Soit ABC un triangle tel que : AB = 5 cm, BC = 6 cm AC = 7 cm Construire le cercle circonscrit au triangle ABC
Faire les exercices 35 P170 et 59 P173
Faire l’activité 3 P 163 partie A
II-2- La hauteur :
Faire l’exercice 10 P167
Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Propriété :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Faire les exercices 12 P167 et 30 P170 33 P 170 52, 51 P 172
