A471. L'aiguille coudée de Buffon
Solution proposée par Philippe Bertran On va traiter directement le cas général.
Soient A, B et M les extrémités et le milieu de l’aiguille (AM = BM = 1/2), et soit α l’angle AMB compris entre 0 et 180 degrés.
L’existence ou non d’une intersection avec une des lignes parallèles est déterminée par la distance z de M à la ligne la plus proche et par l’angle θ entre la perpendiculaire aux lignes et la bissectrice de AMB
OM = z est compris entre 0 et 1/2 avec une probabilité uniforme.
L’angle θ est compris entre –π et +π avec une probabilité uniforme. Par symétrie, on peut réduire l’intervalle à [0, π]
La position de l’aiguille par rapport aux lignes est donc définie par le couple (θ, z) qui peut prendre toute valeur de [0, π] × [0, 1/2] avec une probabilité uniforme.
Si l’on représente ces positions dans un repère orthonormé (Oθ, Oz), l’espace des cas possibles sera le rectangle [0, π] × [0, 1/2] ; les valeurs de (θ, z) correspondant aux cas donnant une intersection entre l’aiguille et une ligne occuperont une partie de ce rectangle dont l’aire A1, divisée par l’aire A du rectangle, donnera la probabilité d’intersection.
OM étant inférieur 1/2, l’intersection ne peut se faire qu’avec la ligne passant par O. D’autre part, l’angle θ étant compris entre 0 et π, le côté MA ne peut pas couper cette ligne sans que le côté MB la coupe aussi. Les positions de l’aiguille lesquelles il y a intersection sont donc celles pour lesquelles MH est plus grand que OM, soit :
(1/2)cos[π - (θ + α/2)] > z
c'est-à-dire z < - (1/2)cos(θ + α/2)
z étant positif et l’angle θ étant compris entre 0 et π, cette inégalité n’est possible que pour θ compris entre (π/2 - α/2) et π.
L’aire A1 est donc égale à l’intégrale de - (1/2)cos(θ + α/2) sur l’intervalle [(π/2 - α/2), π] qui est égale à (1/2)[1 + sin(α/2)].
Comme l’aire A est égale à π/2, la probabilité cherchée, égale au quotient de A1 par A est donc p = (1/π)[1 + sin(α/2)].
Pour α = π , on retrouve le résultat classique p = 2/π Pour α = π/2 , on a p = (1 + 2-1/2)/π
