G144. L’aiguille coudée de Buffon
Notonsxla distance du milieu de l’aiguille avec la rainure la plus proche, etθ l’angle formé par la bissectrice intérieure de l’aiguille avec une perpendiculaire aux rainures. D’après les hypothèses, et en utilisant toutes les symétries, on peut considérer que :
– θsuit une loi uniforme continue sur [0;π]
– xsuit une loi uniforme continue sur 0;12
L’aiguille rencontre une ligne ssi
– 06x6 12cosa2 et 06θ6a2+ arccos 2x
– 12cosa2 6x6 12 et a2−arccos 2x6θ6 a2+ arccos 2x
Alors la probabilité que l’aiguille rencontre une ligne vaut
p=
ˆ 12cosa2 x=0
ˆ a2+arccos 2x θ=0
2 πdxdθ+
ˆ 12
x=12cosa2
ˆ a2+arccos 2x θ=a2−arccos 2x
2 πdxdθ
Après un peu de calcul intégral, on parvient àp= 1+sinπ a2.
Nous retrouvons les résultats classiques poura= 0 (l’aiguille est non coudée de longueur 12) eta=π(l’aiguille est non coudée de longueur 1).
En particulier poura=π2,la probabilité vaut 2+
√2 2π .
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