G144. L'aiguille coudée de Buffon
L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité bien connue qui fournit une approximation du nombre Pi.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon
On modifie l’expérience avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle de 90°. On lance l’aiguille sur un plan où ont été tracées des lignes parallèles
d’écartement égal à l’unité. Quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre une ligne quelconque ?
Pour les plus courageux, généralisation avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle a compris entre 0 et 180°.
Solution proposée par Paul Voyer:
La probabilité cherchée est la moyenne de la hauteur de l'aiguille pour toutes les orientations possibles de l'aiguille. (On peut se borner à [0, π]).
Un article donne la solution et m'aurait évité tous les calculs si je l'avais connu plus tôt : http://bornimetrie.free.fr/spip/spip.php?article2
P = (1/2)(1/π)[2
04cosd+2 2(sin)d
0 ] le ½ initial est la longueur de la demi-aiguille P= (sin(π/4)) + 1)/ π P = 2 ) 1 2 (
0.5434
Angles quelconques
Angle 0 ≤ a ≤ π/2 Angle π/2 ≤ a ≤ π
Angle 0 ≤ a ≤ π/2
πP= moyenne de cos(θ-a) dans [a/2,π/2+a/2] + sinθ dans [0, a/2] répartis sur π.
π P= [
2
2
) cos(
a
a
d a
+
02sin .a
d
]
πP=sin(π/2+a/2-a)-sin(a/2-a)+1-cos(a/2) P(a) =
2 sin
1 a
Angle π/2 ≤ a ≤ π
P=moyenne de (-cosθ+cos(θ-a)) sur [π/2, (a+π)/2] + cos(θ-a)) sur [a/2,π/2], répartis sur π/2.
(les signes correspondent à une contribution positive des termes) πP=
2 2
) cos(
a
a a d -
22
. cos
a d
=sin(a/2+π/2-a)-sin(a/2-a) -sin(a/2+π/2)+1
=cos(a/2)+sin(a/2)-cos(a/2)+1 P(a) =
2) sin 1
( a
C'est la même formule que pour a≤ π/2.
