L'aiguille coudée de Buffon Problème G144 de Diophante L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité bien connue qui fournit

L'aiguille coudée de Buffon

Problème G144 de Diophante

L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité bien connue qui fournit une approximation du nombre π.

On modifie l’expérience avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle de 90°. On lance l’aiguille sur un plan où ont été tracées des lignes parallèles d’écartement égal à l’unité. Quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre une ligne quelconque ?

Pour les plus courageux, généralisation avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle a compris entre 0 et 180°.

Solution

Traitons d’abord le cas général d’une aiguille de longueur 2h, coudée en son milieu avec un angle 2u ( 0 < u < π/2 ), lancée entre des parallèles équidistantes d’écartement L (assez grand pour que l’aiguille ne puisse rencontrer deux parallèles).

Soit AB l’aiguille coudée en son milieu O. Notons w l’angle de la bissectrice de AOB avec la direction Ox des parallèles (tracées ci-dessous en vert).

O

B

u w

A Q

J

I

d

u x

O

u Š w < š/2

B

u w A

d

x u

0 < w < u

I J

P

Q

P

Deux cas se présentent, pour l’empâtement IJ de l’aiguille : 0 < w < u ; e = IO + OJ = h * ( sin (w+u) – sin (w-u) ) u ≤ w < π/2 : e = OJ = h * sin (w+u)

Du point de vue probabiliste, notons Ω l’événement « l’aiguille rencontre une ligne du parquet » et considérons que O est uniformément réparti entre P et Q et w est uniformément réparti entre 0 et π/2 (au vu de la symétrie du problème par rapport à PQ)

Ainsi e / L est la probabilité conditionnelle de Ω connaissant w.

La probabilité cherchée est alors p = 2 / π * ∫ e/L dw pour 0 < w < π/2

ou encore

πLp/2h = ∫

sin (w+u) dw - ∫

sin (w-u) dw

πLp/2h = ∫

sin (t) dt - ∫

sin (t) dt

πLp/2h = - cos (u + π/2) + cos (u) + cos (0) – cos (-u)

πLp/2h = 1 + sin (u)

et enfin, avec u = a/2

p = 2h (1 + sin (a/2)) / πL

Pour a = 0 et a = π, on retrouve les résultats classiques de l’aiguille de Buffon.

Pour répondre précisément à la question posée, il suffit de prendre L = 2h = 1 et a = π/2. La valeur demandée est p = (1 + 1/√2) / π = 0,543 …