G144. L'aiguille coudée de Buffon
L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité bien connue qui fournit une approximation du nombre Pi.
On modifie l’expérience avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle de 90°. On lance l’aiguille sur un plan où ont été tracées des lignes parallèles
d’écartement égal à l’unité. Quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre une ligne quelconque ? Pour les plus courageux, généralisation avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle a compris entre 0 et 180°.
Solution proposée par Antoine Vanney
Traitons le cas le plus général d’une aiguille AC coudée en son milieu B, d’angle intérieur a et de longueur 2n et des lignes espacées de p. On suppose p2n pour éviter certains cas limites.
La position de l’aiguille est repérée par x et b, selon le schéma ci- contre. On fait varier b de – π/2 à + π/2, ce qui – par symétrie – permet de ne considérer que le cas de la courbure orientée vers le bas.
x varie de 0 à p.
La somme des « possibles » est alors :
b=- π/2 à π/2x=0 à pdxdb=b=- π/2 à π/2 p.db=π.p
On va considérer les cas où 0<a π/2 et où π/2<a π π/2<a π
- π/2<b< (π-a)/2 :
l’aiguille coupe la ligne inférieure avec AB ou BC si x+n(sinb-sin(a+b))<0 C’est le seul cas où l’aiguille coupe la ligne inférieure.
0<b< π-a :
l’aiguille coupe la ligne supérieure avec AB si x+nsinb>p π-a<b< π/2 :
l’aiguille coupe la ligne supérieure avec AB ou BC si x+n(sinb-sin(a+b))>p
Donc la somme des cas favorables est :
b=- π/2 à (π-a)/2x=0 à n(sin(a+b)-sinb)dxdb + b=0 à (π-a)x=p-nsinb à pdxdb + b=π-a à π/2x=p+n(sin(a+b)-sinb) à pdxdb
=b=- π/2 à (π-a)/2 n(sin(a+b)-sinb)dxdb + b=0 à (π-a) nsinbdxdb + b=π-a à π/2 n(-sin(a+b)+sinb)dxdb
=[n(cosb-cos(a+b))] b=- π/2 à (π-a)/2+[-ncosb] b=0 à (π-a)+[n(cos(a+b)-cosb)] b=π-a à π/2
=n(sin(a/2)+sin(a/2)+sina+cosa+1-sina+1-cosa)
=2n(1+sin(a/2))
donc, pour π/2<a π, la probabilité est : (2n/πp).(1+sin(a/2))
p
x b n a
n
A
B C
0<a π/2 - π/2<b<-a :
l’aiguille coupe la ligne inférieure avec AB et BC si x+nsinb<0
-a<b< (π-a)/2 :
l’aiguille coupe la ligne inférieure avec AB ou BC si x+ n(sinb-sin(a+b))<0 0<b< π/2 :
l’aiguille coupe la ligne supérieure avec AB et BC si x+nsinb>p
Donc la somme des cas favorables est :
b=- π/2 à -ax=0 à -nsinbdxdb + b=-a à (π-a)/2x=0 à n(sin(a+b)-sinb) dxdb + b=0 à π/2x=p-nsinb à pdxdb
=b=- π/2 à -a –nsinbdxdb + b=-a à (π-a)/2 n(sin(a+b)-sinb)dxdb + b=0 à π/2 nsinbdxdb
=[ncosb] b=- π/2 à -a+[ n(-cos(a+b)+cosb)] b=-a à (π-a)/2+[-ncosb] b=0 à π/2
=n(cosa+sin(a/2)+sin(a/2)+1-cosa+1)
=2n(1+sin(a/2))
donc, pour 0<a π/2, la probabilité est aussi : (2n/πp).(1+sin(a/2)) pour tout a, la probabilité est : (2n/πp).(1+sin(a/2))
Dans le cas particulier ou 2n=p=1 et a= π/2, la probabilité est (2+2)/(2π) 0,543 à comparer à 2/π 0,637 lorsque l’aiguille est droite (a= π)
