G144 : L’aiguille coudée de Buffon
L'aiguille de Buffon est une expérience de probabilité bien connue qui fournit une approximation du nombre Pi. On modifie l’expérience avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle de 90°. On lance l’aiguille sur un plan où ont été tracées des lignes parallèles d’écartement égal à l’unité.Quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre une ligne quelconque ? Pour les plus courageux, généralisation avec une aiguille de longueur unité coudée en son milieu avec un angle a compris entre 0 et 180°.
Dans le cas classique, où la longueur de l’aiguille est égale à l’écartement des lignes et à l’unité, la probabilité est égale à la moyenne de la longueur de la projection de l’aiguille parallèlement aux lignes (soit ici 2/π).
Il en est de même dans le cas d’une aiguille coudée : soit 2a=α l’angle saillant de l’aiguille et faisons varier de 0 à π/2 l’angle t de la bissectrice de l’angle α avec les lignes parallèles.
La projection de l’aiguille a pour longueur p=(sin(t+a)-sin(t-a))/2 pour 0≤t≤a, et p=(sin(t+a))/2 pour a≤t≤π/2. d’où la valeur moyenne
(cosa-cos(-a)-cos2a+1+cos2a-cos(a+π/2))/π=(1+sina)/π.
En particulier pour a=π/4, la probabilité est (1+√2/2)/π, un peu plus de 54%.
