Z π 2 0 dx 1−tcosx pour|t|<1

Développement en série entière de x 7→(Arcsinx)²

Francinou-Gianella-Nicolas, Oraux X-ENS Analyse 2, page 75 Exercice :

1. CalculerIn= Z ^π

2

0

(cosx)ⁿdxpour toutn∈N.

2. CalculerJ(t) = Z ^π

2

0

dx

1−tcosx pour|t|<1.

3. En déduire le développement en série entière de (Arcsint)².

1. On reconnaît dansIn une intégrale de Wallis. On va utiliser la relation de récurrence nIn= (n−1)In−2

qui découle d'une simple intégration par parties. On a aisémentI0=π

2 etI1= 1.

On en déduit que : I2p= 2p−1

2p I2(p−1)=(2p−1)(2p−3). . .1

(2p)(2p−2). . .2 I0= (2p)!

(2p)²(2p−2)². . .2² π

2 = (2p)!

2^2p(p!)² π 2

I2p+1= 2p

2p+ 1I2p−1= (2p)(2p−2). . .2

(2p+ 1)(2p−1). . .3I1= 2^2p(p!)² (2p+ 1)!

2. Nous allons calculer l'intégrale considéréeJ(t), en faisant le changement de variable u= tanx 2. On acosx= 1−u²

1 +u² et2du= (1 +u²)dx, d'où J(t) = 2

Z ₁

0

du (1 +u²)³

1−t³

1−u² 1+u²

´´

= 2 Z ₁

0

du

1−t+ (1 +t)u² = 2 1−t

Z ₁

0

du 1 +

³q1+t 1−t u

´2

= 2

1−t r1−t

1 +tArctan

Ãr1 +t 1−t

!

= 2

√1−t² Arctan

Ãr1 +t 1−t

!

On peut simplier cette expression. En notantθ=Arccos(t)∈]0, π[, on obtient : Arctan³q

1+t 1−t

´

= Arctan r

cos^2θ₂

sin^2θ₂ =Arctan µ

cotanθ 2

¶

| {z }

≥0

= Arctan µ

tan µπ

2 −θ 2

¶¶

=π 2 −θ

2 µ

car π 2 −θ

2 ∈ i

−π 2,π

2 h¶

= π

2 −Arccost

2 =π

4 +Arcsint 2

On a nalement : Z ^π

2

0

dx

1−tcosx = Arcsint

√1−t² + π 2√

1−t²

1

3. Fixonst∈]−1,1[. Pour toutx∈R, on a|tcosx| ≤ |t|, si bien que la série 1 1−tcosx =

+∞X

n=0

tⁿcosⁿx est normalement convergente surR. Cela légitime l'interversion série-intégrale qui suit :

Z ^π

2

0

dx 1−tcosx=

Z ^π

2

0 +∞X

n=0

tⁿcosⁿxdx=

+∞X

n=0

Z ^π

2

0

tⁿcosⁿxdx=

+∞X

n=0

Intⁿ

Notons pourt∈]−1,1[,f(t) = (Arcsint)². On a

f⁰(t) =2Arcsint

√1−t² = 2

+∞X

n=0

Intⁿ− π

√1−t²

Or, le développement en série entière de 1

√1−t² est connu. Il vaut

1 + µ−1

2

¶

(−t²) +

¡−¹₂¢ ¡

−³₂¢ (−t²)²

2 +. . .+

¡−¹₂¢ . . .

³

−^(2p−1)₂

´ (−t²)^p

p! +. . .

ce qui donne, après simplication et en faisant apparaître des factorielles comme dans la première question,

√ 1

1−t² =

+∞X

n=0

(2p)!

2^2p(p!)²t^2p= 2 π

X+∞

p=0

I2pt^2p

Ainsi, il reste

f⁰(t) = 2

+∞X

p=0

I2p+1t^2p+1

Commef(0) = 0, il vient par intégration (Arcsint)²= 2

+∞X

p=0

I2p+1

2p+ 2t^2p+2= 2 X+∞

p=0

2^2p(p!)²

(2p+ 2)!t^2p+2=

+∞X

p=0

2^2p+1t^2p+2 (p+ 1)²

µ 2p+ 2 p+ 1

¶

ou encore

(Arcsint)²=

+∞X

p=1

2^2p−1 p²

µ 2p p

¶ t^2p

2