Exerie 1
Étudierl'existenedel'intégrale:
Z +∞
0
√xsin 1
x2
ln(1 +x) dx
Exerie 2
Étudierl'existenedel'intégrale:
Z +∞
1
√3
x+ 1−√3 x√x
dx
Exerie 3
Étudierl'existenedel'intégraleetalulerl'intégrale :
Z 1
0
lnx (1 +x)√
1−x2dx
Exerie 4
l'objetifestlealuldeI= Z
π 2
0
ln(sin(x))dx.
EnutilisantJ = Z
π 2
0
ln(cos(x))dx,alulerI (etJ).
Exerie 5
ExisteneetaluldeIn= Z +∞
0
1 x2+ 1
n dx
Élémentsderéponse :
Ex1:
Onposef(x) =
√xsin 1
x2
ln(1 +x) .
Auvoisinagede0,majorer|f(x)|.Au voisinagede+∞,f(x)est designeonstant.
Lafontionf estontinuesur]0; +∞[,positivesur[1; +∞[,designenononstantauvoisinagede +∞.
∗ Sur]0,1],|f(x)|6
√x
ln(1 +x) etauvoisinagede0,
√x
ln(1 +x) ∼ 1
√x
Ainsix7−→
√x
ln(1 +x) est intégrablesur]0,1](équivalente en0àune fontionintégrable)et ilen estdemêmepourf.
∗ Au voisinage de +∞, f(x) ∼ 1 x32ln(x)
donf(x) = o 1
x32
et f est intégrablesur [1; +∞[
(règledeRiemann).
Ainsi
Z +∞
0
√xsin 1
x2
ln(1 +x) dxexiste.
Ex2:
Onposef(x) = √3
x+ 1−√3 x√x
.f est ontinueet positivesur[0; +∞[.
Auvoisinagede+∞:
∗ √3
1 +x=x13
1 + 1 x
13
=x13
1 + 1 3x+o
1 x
∗ √3
1 +x−√3 x=1
3x−23 +o 1
x23
∗ ln(√3
1 +x−√3
x) =−2
3lnx−ln 3 +o(1)
Orf(x) = exp(√ xln(√3
1 +x−√3
x)) = exp
−2 3
√xlnx+o(√ x)
Puisondonnel'expressiondex2f(x) = exp
2 lnx−2 3
√xlnx+o(√x)
orlnx = o(√
x) en +∞ et on a: x2f(x) = exp
−2 3
√xlnx+o(√ x)
et lim
x→0x2f(x) = 0
'estàdiref(x) =o 1
x2
en+∞.f est intégrablesur[0; +∞[.
Ex3:
∗ f :x7−→ 1 (1 +x)√
1−x2
estontinueet négativesur]0; 1[.
En0:f(x)∼ln(x)donf(x) =o( 1
√x.f estdonintégrablesur]0;1 2].
∗ En 1:f(x)∼
√1−x 2√
2
donf est donprolongeableparontinuité en1et f est intégrable
sur[1 2; 1[.
∗ CaluledeI= Z 1
0
lnx (1 +x)√
1−x2dx dx
(1 +x)√
1−x2 = dx (1 +x)2
r1−x 1 +x
et il est naturel de poser u =
r1−x
1 +x et on obtient :
du= −dx
(1 +x)√ 1−x2
etx=1−u2
1 +u2.L'intégraledevientalors
Z 1
0
ln
1−u2 1 +u2
du
Lesalulsséparésdesintégrales
Z 1
0
ln(1 +u)du, Z 1
0
ln(1−u)du et Z 1
0
ln(1 +u2)du(toutes
lestroisparparties)donnentommerésultatnal :I= ln 2−π 2
Ex4:
f : x7−→ ln(sin(x)) est ontinue suri 0;π
2 i
et auvoisinagede 0, f(x)∼ ln(x) = o 1
√x
don
l'intégraledef estonvergente.
Deplus,I= Z
π 2
0
ln(sin(x))dx=− Z 0
π 2
ln(sin(π
2 −t))dt= Z
π 2
0
ln(cos(t))dt=J donI=J.
Ex5:
In est onvergentesietseulementsin>1. In=
Z S
0
1
(x2+ 1)ndx= x
(x2+ 1)n S
0
+2n Z S
0
x2
(x2+ 1)n+1dx= S
(S2+ 1)n+2n Z S
0
x2+ 1−1 (x2+ 1)n+1dx
= S
(S2+ 1)n + 2n Z S
0
1
(x2+ 1)ndx−2n Z S
0
1
(x2+ 1)n+1dx
Enpassantàlalimite,onobtient:In= 2n(In−In+1)⇔In+1=2n−1
2n In, ∀n∈N∗
OnaI1= π
2 et∀n>2, In= 2n−3
2n−2×2n−5
2n−4×...×1 2×I1
Etnalement:In= (2n−2)!
22n−2((n−1)!)2×π
2, ∀n∈N∗
