ou bien x0 - ou bien x0 et z2z' est pair Premier cas : x0 Si y1, on trouve la solution (0,1,1)

(1)

A 539 Des triplettes diophantiennes Solution proposée par Pierre Renfer

QUESTION 1

Les nombres x et y sont de parités distinctes sinon z serait un nombre pair strictement supérieur à 2 et ne serait pas premier.

Quitte à échanger x et y on peut supposer que y2 et que x est impair.

Si x3, alors x² 1 modulo3 et 2^x 1 modulo3.

Mais alors z serait un multiple de 3 strictement supérieur à 3 et ne serait pas premier.

Pour x3, on obtient z17 qui est premier.

Les seuls triplets (x,y,z) solutions sont donc (3,2,17) et (2,3,17).

QUESTION 2

Sont solutions évidentes les deux triplets (0,1,1) et (2,2,2).

On va montrer que ce sont les seules solutions.

L'examen des classes modulo 3 des deux membres de l'équation montre que : - ou bien x0

- ou bien x0 et z2z' est pair Premier cas : x0

Si y1, on trouve la solution (0,1,1).

Si y2, le premier membre vaut 17 et il n'y a pas de solution.

Si y3, l'examen des classes modulo 8 des deux membres montre que z2z' est pair.

Et alors l'équation s'écrit : 5²^z^' 1(5^z^' 1)(5^z^' 1)4^y

Les deux facteurs du premier membre sont pairs ainsi que leur somme 25^z^'. Mais cela implique z0, ce qui est impossible.

Deuxième cas : x0 et z2z' est pair

(2)

Alors l'équation s'écrit : 5²^z^' 4^y (5^z^' 2^y)(5^z^' 2^y)3^x

Le facteur 5^z^' 2^y est égal à 1, sinon les deux facteurs du premier membre seraient divisibles par 3, ainsi que leur somme 25^z^', ce qui est absurde.

y '

z 1 2

5  

L'équation n'a pas de solution pour y0 ou y1. Si y2, on trouve la solution (x,y,z)=(2,2,2).

Si y3, l'examen des classes modulo 8 des deux membres montre que z'2z" est pair.

Et alors l'équation s'écrit : 5²^z^" 1(5^"' 1)(5^z^" 1)2^y

Les deux facteurs du premier membre sont pairs ainsi que leur somme 25^z^". Mais cela implique z0, ce qui est impossible.