E667. Le polygone des agences de notation
On note les sommets d’un pentatétracontagone régulier avec 15 lettres A, 15 lettres B et 15 lettres C. Peut-on toujours choisir trois triangles AAA, BBB et CCC isométriques ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Nous allons démontrer une proposition légèrement plus forte, en imposant que les triangles BBB et CCC soient images de AAA par rotations autour du centre du polygone (on restreint l’énoncé à des isométries directes).
Considérons un polygone régulier à sommets, numérotés de 0 à . Deux triangles sont images l’un de l’autre par une rotation autour du centre du polygone si leurs sommets ont respectivement pour numéros , , et , , , modulo . On peut donc reformuler le problème de la façon qui suit.
Soient , , trois sous-ensembles disjoints de cardinal 15 dans , montrer qu’il existe trois éléments distincts , , de A, et deux entiers et , tels que , , appartiennent à B, et , , appartiennent à C.
Dans la suite on notera la partie entière par excès de , le cardinal de l’ensemble , l’ensemble et la fonction caractéristique de définie par .
Démontrons tout d’abord le théorème suivant :
Autrement dit, que :
Posons . On a en particulier car .
En vertu du principe des tiroirs,
Ce qui démontre le théorème.
Soient , , trois sous-ensembles disjoints de cardinal 15 dans .
Par application du théorème à et , il existe un entier et un sous-ensemble d’au moins éléments tels que . Par application du théorème à et , il existe un entier et un sous-ensemble d’au moins éléments tels que .
Dans un pentatétracontagone régulier où les sommets sont notés avec 15 lettres A, 15 lettres B et 15 lettres C, on peut-on toujours choisir trois triangles AAA, BBB et CCC isométriques.
