A1717. Du rififi chez les phi (1er épisode) *****
La fonction phi appelée indicatrice d'Euler est la fonction qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n.
Q1 Déterminer toutes les solutions des équations :
1ère équation : phi(n) = 32, 2ème équation : phi(n) = 256,3ème équation : phi(n) = 1024 [***]
Q2 Pour les très courageux : pour m ≤ 2
³²
, déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation phi(n) = 2m [*****]PROPOSITION Th Eveilleau Q1
phi(n) = 32 = 25
phi(51) = 32 phi(64) = 32 phi(68) = 32 phi(80) = 32 phi(96) = 32 phi(102) = 32 phi(120) = 32
7 = (5+2) solutions.
phi(n) = 256 = 28 phi(257) = 256 phi(512) = 256 phi(514) = 256 phi(544) = 256 phi(640) = 256 phi(680) = 256 phi(768) = 256 phi(816) = 256 phi(960) = 256 phi(1020) = 256
10 = (8+2) solutions.
phi(n) = 512 = 29 phi(771) = 512 phi(1024) = 512 phi(1028) = 512 phi(1088) = 512 phi(1280) = 512 phi(1360) = 512 phi(1536) = 512 phi(1542) = 512 phi(1632) = 512 phi(1920) = 512 phi(2040) = 512
11 = (9+2) solutions.
phi(n) = 1024 = 210 phi(1285) = 1024 phi(2048) = 1024 phi(2056) = 1024 phi(2176) = 1024 phi(2560) = 1024 phi(2570) = 1024 phi(2720) = 1024 phi(3072) = 1024 phi(3084) = 1024 phi(3264) = 1024 phi(3840) = 1024 phi(4080) = 1024
12 = (10+2) solutions.
Q2
OBSERVATIONS
phi(n) = 32 = 25 a 7 solutions.
phi(n) = 256 = 28 a 10 solutions.
phi(n) = 512 = 29 a 11 solutions.
phi(n) = 1024 = 210 a 12 solutions.
phi(n) = 2048 = 211 a 13 solutions.
phi(n) = 4096 = 212 a 14 solutions.
phi(n) = 8192= 213 a 145 solutions.
phi(n) = 16384 = 214 a 16 solutions.
phi(n) = 32768 = 215 a 17 solutions.
phi(n) = 65536 = 216 a 18 solutions.
.
phi(n) = 536 870 912 = 229 a 31 solutions.
Ce sont : 858993459 1073741824 1073758208 1077936128 1077952576 1140850688 1140868096 1145307136
1145324612 1342177280 1342197760 1347420160 1347440720 1426063360 1426085120 1431633920
1610612736 1610637312 1616904192 1616928864 1711276032 1711302144 1717960704 1717986918
2013265920 2013296640 2021130240 2021161080 2139095040 2139127680 2147450880
phi(n) = 1 073 741 824 = 230 a 32 solutions.
_____________
Les solutions des premiers exemples phi(n) = 2m jusqu’à m=16, commencent par un entier impair :
phi(3) = 2 phi(5) = 4 phi(15) = 8
phi(17) = 16 = 24 avec 4=2
²
phi(51) = 32 phi(85) = 64 phi(255) = 128
phi(257) = 256 = 28 avec 8=23
phi(771) = 512 avec 771 =3 * 257 phi(1285) = 1024 avec 1285 =5 * 257 phi(3855) = 2048 avec 3855 =15 * 257 phi(4369) = 4096 avec 4369 =17 * 257 phi(13107)=8192 avec 13107 =51 * 257 phi(21845)=16384 avec 21845 =85 * 257 phi(65535) = 32768 avec 65535 =255 * 257
phi(65537) = 65536 = 216 avec 16 =24
ET
65537 entier premier.Tableau (I)
PROPRIÉTÉS
- Si p est premier : phi(p) = p-1 (*)
- Si p et q sont premiers entre eux, nous avons phi(p*q) = phi(p) * phi(q) (**)
- Si p est premier , phi(pk) = pk-1 * (p-1) phi(2k+1) = 2k
2k+1 est une solution de phi(n) = 2k.- phi(2*n) = 2* phi(n) quand n est PAIR. (***) - phi(2*n) = phi(n) quand n est IMPAIR. (****)
___________________________________________________________
Sur les résultats précédents nous conjecturons que phi(n) = 2k, admet k+2 solutions dont (k+1) sont paires.
Cette conjecture est vraie pour m 30, nous allons donc faire une récurrence.
On suppose que c’est vrai pour l’exposant k et nous allons montrer que c’est vrai pour les entiers suivants.
C’est-à-dire que nous aurons k+3 solutions pour phi(n) = 2k+1 _____________
.
Avec (***), si n pair, est solution de phi(n) = 2k alors phi(2*n) = 2*2k = 2k+1 Chacune des solutions paires de phi(n) = 2k fournit une solution pour phi(n) = 2k+1 . Nous avons déjà (k+1) solutions.
.
Considérons la solution impaire de phi(n) = 2k Si n n’est pas un multiple de 3 (c’es tle cas pourAvec phi(3) = 2 ; phi(5) =4 ; phi(15)=8 ; phi(17) = 16 ; A partir de phi(257) = 256 = 28
Nous obtenons 257*3 = 771 ET phi(257*3)=phi(257)*phi(3) car 257 n’est pas divisible par 3.
phi(257*3) = phi(257) * 2 avec phi(257) = 28 nous avons bien phi(771) = 29
k+2
èmesolution IMPAIRE
Il suffit maintenant d’utiliser les résultats précédents (comme dans le Tableau (I) ci-dessus), pour voir la construction de la (k+2) ème solution impaire (car produit d’entiers impairs) avec phi (n) = 2k+1.
En effet s’il est premier on a : phi(N ) = N-1 avec N=2k+1 ; SOIT phi(2k+1) = 2k
Ce résultat utilise la propriété (**) puisque nous travaillons avec p et q premiers entre eux.
S’ils ne le sont pas, on repart sur un nombre premier qui va être de la forme 2k+1.
ICI les cas rencontrés donnent un exposant qui est une puissance de 2.
(Cf Tableau (I) )
Nombres de Fermat premiers
Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2
2n+ 1, avec n entier naturel. Le n
èmenombre de Fermat, 2
2n+ 1, est noté F
n. On ne sait pas si les nombres à partir de F
33sont premiers ou composés. . A Ai in ns si i, , l le es s s se eu ul ls s n no om mb br re es s d de e F Fe er rm ma at t p p re r em mi ie er rs s c co on nn nu us s s so on nt t a au u n no om mb br re e d de e c ci in nq q, , à à s sa av vo oi ir r l le es s c ci in nq q p pr re em mi ie er rs s F F
00, , F F
11, , F F
22, , F F
33e et t F F
44, , q qu ui i v va al le en nt t r re es sp pe ec ct ti iv ve em me en nt t 3 3, , 5 5, , 1 17 7, , 2
25 57 7 e et t 6 65 5 5 53 37 7. .
k+3
èmesolution PAIRE
Soit N cette (k+2)ème solution.
Pour obtenir la k+1+2 = (k+3)ème solution, il suffit de la multiplier par 2.
La propriété (****) justifie le résultat, puisque N et 2 sont premiers entre eux : phi(2*N) = phi(N) = 2k+1
AINSI jusqu’au rang m 30, phi(n) = 2m admet (m+2) solutions.
ENSUITE...
Et d’après la remarque sur les seuls nombres de Fermat premiers, ci-dessus, on ne peut conclure que le nombre de solutions de l'équation phi(n) = 2m est égal à m+2, que pour les nombres de la forme 2m avec m 16.
Cependant, les calculs précédents montrent que jusqu’à m=30 nous avons m+2 solutions.
Ensuite, les nombres de la forme 22^n
ne sont pas premiers.
L’ouvrage de W. Sierpinski "Elementary theory of numbers" , indique que le nombre de solutions de l'équation phi(n) = 2m est exactement 32 pour tout 32 m 217 (qui peut être porté à 232).
