D1844. Homing pour géomètre amateur
Dans un triangle ABC, on trace successivement l'orthocentre (H), le centre du cercle circonscrit (O), le point M à l'intérieur du segment OH tel que OM=2OH/3, le centre du cercle inscrit (I), le centre du cercle d'Euler (N) et le centre de gravité (G).
Le cercle tangent en G à la droite GH et passant par I coupe la droite [MI] en un deuxième point I1. Sur cette même droite [MI], on trace le point I2 symétrique de M par rapport à I1, le point I3 symétrique de I1 par rapport à M et le point I4 milieu du segment MI1.
Démontrer que:
Q1 Les points I,G,O,I2 sont cocycliques, Q2 Les points I,G,H,I3 sont cocycliques, Q3 Les points I,G,N,I4 sont cocycliques.
PROPOSITION Th Eveilleau
Q
1Dans tous les cas, nous allons utiliser la puissance d’un point par rapport à un cercle.
Nous avons la relation d’Euler,
G est au tiers de [OH] soit
OG = OH/3DONC avec la relation OM = 2OH/3,
on déduit
OM = 2 OG(ET
OG = GM = MH)- Calculons
P
1 = MI* MI2 soitP
1 = MI * 2 MI1P
1 = 2 MI* MI1OR MI* MI1 est la puissance de M par rapport au cercle tangent en G à la droite (GH) passant par I et donc MI* MI1 = MG² il s’ensuit,
P
1 = 2 MG*MG- Calculons
P
2 = MG * MO soitP
2= MG * 2 MGP
2= 2 MG* MG DONCP
1 =P
2Nous avons donc MI* MI2 = MG * MO
Ceci implique que les 4 points I, G, O et I2 sont cocycliques.
Q
2Cette fois nous utilisons la relation : HM = OH/3
puis HM = MG
Calculons
P
3 = MI* MI3soit
P
3 = MI * MI1Et comme précédemment MI* MI1 = MG² il s’ensuit,
P
3= MG*MG-Calculons
P
4= MG * MHsoit
P
2= MG * MG doncP
4= MG* MGAinsi
P
3 =P
4Nous avons donc MI * MI3 = MG * MH
Ceci implique que les points I, G, I3, et H sont cocycliques.
Q
3On sait que :
Le centre du cercle d’Euler N est le milieu du segment [OH] joignant l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Il s’ensuit NG=NM (=OH/6) Calculons MI *MI4 et MN *MG Nous avons vu précédemment : MI* MI1 = MG² (*)
I4 étant le milieu de MI1, nous avons : MI * MI4 = MI * MI1 /2 (**) Par ailleurs,
MN * MG = MG/2 * MG soit
MN * MG = MG²/ 2 et avec (*)
MN * MG = MI* MI1 /2 (***) Les relations (**) et (***) impliquent que MI * MI4 = MN * MG
Donc les points I, G, N, et I4 sont cocycliques.
