C Quelques propriétés de la compacité

A2017 – MATH II MP

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,

MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne),

ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée de l’épreuve : 4 heures

L’usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - MP

L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les

raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Sous-groupes compacts du groupe linéaire

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn > 0dont le produit scalaire est notéÈ, Íet la norme euclidienne associée est notée Î Î. On noteL(E)l’espace vectoriel des endomorphismes deE etGL(E)le groupe des automorphismes deE.

Pour tout endomorphisme u de E, on note uⁱ l’endomorphisme u¶u¶· · ·¶u (i fois) avec la conventionu⁰ = IdE (identité). L’ensemble vide est noté ?.

On rappelle qu’un sous-ensemble C de E estconvexe si pour tous x, y dans C et tout ⁄ œ [0,1], on a ⁄x+ (1≠⁄)y œ C. De plus, pour toute famille a₁, ...., ap

d’éléments de C convexe et tous nombres réels positifs ou nuls ⁄1, ....,⁄p dont la somme égale 1, on a ^ÿp

i=1

⁄iai œC.

Si F est un sous-ensemble quelconque de E, on appelle enveloppe convexe de F, et on note Conv(F), le plus petit sous-ensemble convexe de E (au sens de l’inclusion) contenant F. On note H l’ensemble des (⁄1, ...,⁄n+1) œ (R⁺)ⁿ⁺¹ tels que^n+1ÿ

i=1

⁄i = 1et on admet que Conv(F)est l’ensemble des combinaisons linéaires de la forme ^n+1ÿ

i=1

⁄ixi où x₁, . . . , x_n+1 œF et (⁄1, ....,⁄_n+1)œH.

L’espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayantn lignes et mcolonnes est noté M_n,m(R). On notera en particulier M_n(R) = M_n,n(R). La matrice trans- posée d’une matrice A à coefficients réels est notée A^T. La trace de A œ Mn(R) est notée Tr(A).

On noteGL_n(R)le groupe linéaire des matrices deM_n(R)inversibles etO_n(R) le groupe orthogonal d’ordre n.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A Préliminaires sur les matrices symétriques

On note Sn(R) le sous-espace vectoriel de Mn(R) formé des matrices symé- triques. Une matrice S œ Sn(R) est dite définie positive si et seulement si pour tout X œ Mn,1(R) non nul, on a X^TSX > 0. On note S_n⁺⁺(R) l’ensemble des matrices symétriques définies positives.

1. Montrer qu’une matrice symétriqueSœSn(R)est définie positive si et seule- ment si son spectre est contenu dans R^ú+.

2. En déduire que pour tout S œ S_n⁺⁺(R), il existe R œ GLn(R) tel que S = R^TR. Réciproquement montrer que pour toutR œGLn(R),R^TRœS_n⁺⁺(R).

3. Montrer que l’ensemble S_n⁺⁺(R) est convexe.

B Autres préliminaires

Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.

4. SoitK un sous-ensemble compact de E etConv(K)son enveloppe convexe.

On rappelle que H est l’ensemble des (⁄1, ...,⁄n+1) œ (R⁺)ⁿ⁺¹ tels que

qn+1

i=1 ⁄i = 1. Définir une application „ de Rⁿ⁺¹ ◊ Eⁿ⁺¹ dans E telle que Conv(K) = „(H◊Kⁿ⁺¹). En déduire que Conv(K) est un sous-ensemble compact deE.

5. On désigne par g un endomorphisme de E tel que pour tous x, y dans E, Èx, yÍ= 0 impliqueÈg(x), g(y)Í= 0.

Montrer qu’il existe un nombre réel positif k tel que pour tout x œ E, Îg(x)Î = kÎxÎ. (On pourra utiliser une base orthonormée (e1, e2, ..., en) de E et considérer les vecteurs e₁+ei ete₁≠ei pour iœ{2, . . . , n}.)

En déduire que g est la composée d’une homothétie et d’un endomorphisme orthogonal.

6. On se place dans l’espace vectoriel euclidienMn(R)muni du produit scalaire défini parÈA, BÍ= Tr(A^TB). (On ne demande pas de vérifier que c’est bien un produit scalaire.)

Montrer que le groupe orthogonal On(R) est un sous-groupe compact du groupe linéaireGLn(R).

C Quelques propriétés de la compacité

Soit (xn)nœN une suite d’éléments de E pour laquelle il existe un réelÁ >0 tel que pour tous entiers naturelsn ”=p, on ait Îxn≠xpÎ>Á.

7. Montrer que cette suite n’admet aucune suite extraite convergente.

SoitKun sous-ensemble compact deE. On noteB(x, r)la boule ouverte de centre xœE et de rayon r.

8. Montrer que pour tout réel Á > 0, il existe un entier p > 0 et x₁, . . . , xp

éléments deEtels queK ™

€p i=1

B(xi,Á). (On pourra raisonner par l’absurde.) On considère une famille ( i)iœI de sous-ensembles ouverts de E, I étant un en-

semble quelconque, telle queK ™ ^€

iœI i.

9. Montrer qu’il existe un réel–>0tel que pour toutxœK, il existeiœI tel que B(x,–) soit contenue dans l’ouvert i. (On pourra raisonner par l’ab- surde pour construire une suite d’éléments deKn’ayant aucune suite extraite convergente.) En déduire qu’il existe une sous-famille finie( i1, .... ip)de la famille ( i)iœI telle que K ™

€p k=1 i_k.

Soit (Fi)iœI une famille de fermés de E contenus dans K et d’intersection vide :

u

iœIF_i =?.

10. Montrer qu’il existe une sous-famille finie (Fi1, ...., Fip) de la famille (Fi)iœI

telle que ^up_k=1Fik =?.

D Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

Soit G un sous-groupe compact de GL(E) et K un sous-ensemble non vide, compact et convexe deE. Pour toutxœE, on pose N_G(x) = sup

uœGÎu(x)Î. 11. Montrer que N_G est bien définie, et que c’est une norme sur E.

12. Montrer en outre que NG vérifie les deux propriétés suivantes :

• pour tousuœG etxœE, NG(u(x)) =NG(x);

• pour tous x, y dans E avec x non nul, NG(x+y) = NG(x) +NG(y) si et seulement si⁄x=y où⁄ œR⁺.

Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que si z œE, l’applica- tion qui àuœG associe ||u(z)|| est continue.

On considère un élément u de L(E) et on suppose que K est stable par u, c’est- à-dire que u(K) est inclus dans K. Pour tout x œ K et n œ N^ú, on pose xn =

1 n

nÿ≠1 i=0

uⁱ(x). Enfin, on appelle diamètre deK le nombre réel ”(K) = sup

x,yœKÎx≠yÎ qui est bien défini car K est borné.

13. Montrer que la suite (xn)_nœN^ú est à valeurs dans K et en déduire qu’il en existe une suite extraite convergente vers un élément a de K. Montrer par ailleurs que pour toutnœN^ú,Îu(xn)≠xnÎ6 ”(K)

n . En déduire que l’élément a deK est un point fixe deu.

On suppose maintenant que le compact non vide convexeK est stable par tous les éléments deG. Soitrun entier>1,u1, u2, ...., urdes éléments deGetu= 1

r

ÿr i=1

ui. 14. Montrer que K est stable paruet en déduire l’existence d’un élémentaœK

tel que u(a) =a.

15. Montrer que NG

11 r

ÿr i=1

ui(a)² = 1 r

ÿr i=1

NG

1ui(a)². En déduire que pour tout

j œ{1, . . . , r}, on a NG

3

uj(a) +^ÿr

i=1i”=j

ui(a)⁴=NG

1uj(a)²+NG

3ÿr i=1i”=j

ui(a)⁴.

16. En déduire, pour tout j œ{1, . . . , r}, l’existence d’un nombre réel⁄j >0tel queu(a) = ⁄j+ 1

r uj(a).

17. Déduire de la question précédente que a est un point fixe de tous les endo- morphismesui où iœ{1, . . . , r}.

18. En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu’il existe aœK tel que pour toutuœG,u(a) = a.

E Sous-groupes compacts de GL

( R )

On se place à nouveau dans l’espace vectoriel euclidienMn(R)muni du produit scalaire défini par ÈA, BÍ= Tr(A^TB). On rappelle que GLn(R) désigne le groupe linéaire et On(R) le groupe orthogonal d’ordre n.

Soit G un sous-groupe compact de GLn(R). SiA œG, on définit l’application flAdeMn(R)dans lui-même par la formuleflA(M) = A^TM A. On vérifie facilement, et on l’admet, que pour toutM œMn(R), l’application qui àAœGassocieflA(M) est continue.

On note H ={flA|AœG}, ={A^TA|AœG} etK = Conv( ).

19. Montrer que flA œ GL(Mn(R)) et que H est un sous-groupe compact de GL(Mn(R)).

20. Montrer que est un compact contenu dans S_n⁺⁺ et que K est un sous- ensemble compact de S_n⁺⁺(R) qui est stable par tous les éléments deH.

21. Montrer qu’il existe M œ K tel que pour tout A œ G, flA(M) = M. En déduire l’existence de N œ GLn(R) tel que pour tout A œ G, N AN^≠1 œ On(R). En déduire enfin qu’il existe un sous-groupe G₁ de On(R) tel que G=N^≠1G1N ={N^≠1BN ; B œG1}.

Soit K un sous-groupe compact de GLn(R) qui contient On(R), et N œ GLn(R) tel queN KN^≠1 ™O_n(R). On désigne parg l’automorphisme deRⁿ de matrice N dans la base canonique de Rⁿ, par P un hyperplan de Rⁿ et par ‡P la symétrie orthogonale par rapport à P.

22. Montrer que g¶‡p¶g^≠1 est une symétrie, puis que c’est un endomorphisme orthogonal deRⁿ. En déduire queg¶‡P¶g^≠1 =‡g(P). Montrer quegconserve l’orthogonalité et en déduire K.

Fin du problème