C. Quelques propriétés de la compacité

DS n ^◦ 6 : mercredi 15 janvier 2020 (durée 4 heures) Sujet PLUS DUR

Toute calculatrice interdite

Rappel : Bien traiter quelques questions rapporte des points, les bâcler toutes n’en rapporte aucun.

Problème

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn>0 dont le produit scalaire est noté〈 | 〉et la norme euclidienne associée est notéek.k. On noteL(E) l’espace vectoriel des endomorphismes deE et GL(E) le groupe des automorphismes deE. Pour tout endomorphismeudeE, on noteuⁱl’endomorphismeu◦u◦...◦u(ifois) avec la conventionu⁰=I d_E(identité).

L’ensemble vide est noté Ø ?

On rappelle qu’un sous-ensembleCdeEest convexe si pour tousx,ydansCet toutλ∈[0, 1], on aλx+(1−λ)y∈C. De plus, pour toute famillea₁, ....,a_pd’éléments deC convexe et tous nombres réels positifs ou nulsλ1, ...,λp dont la somme égale 1, on a

n

X

i=1

λia_i∈C.

SiFest un sous-ensemble quelconque deE, on appelleenveloppe convexedeF, et on noteC onv(F), le plus petit sous- ensemble convexe deE(au sens de l’inclusion) contenantF. On noteH l’ensemble des (λ1, ...,λn+1)∈(R+)ⁿ⁺¹tels que

n+1

X

i=1

λi

et on admet queC onv(F) est l’ensemble des combinaisons linéaires de la forme

n+1

X

i=1

λix_i oùx₁, ...,x_n+1∈Fet (λ1, ...,λn+1)∈ H.

L’espace vectoriel des matrices à coefficients réelles ayantnlignes etmcolonnes est notéMn,m(R)On notera en parti- culierMn,n(R)=Mn(R). La matrice transposée d’une matriceAà coefficient réels est notée A^T. La trace deA∈Mn(R) est notéeTr(A).

On note GL_n(R) le groupe linéaire des matrices deMn(R) inversibles etO_n(R) le groupe orthogonal d’ordren.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A. Préliminaires sur les matrices symétriques

On noteS_n(R) le sous-espace vectoriel deMn(R) formé des matrices symétriques. Une matriceS∈S_n(R) est ditedé- finie positive si et seulement si pour toutX ∈Mn,1(R)non nul, on aX^TS X >0. On noteS⁺⁺_n (R) l’ensemble des matrices symétriques définies positives.

1) Montrer qu’une matrice symétriqueS∈Sn(R) est définie positive si et seulement si son spectre est contenu dansR^∗+. 2) En déduire que pour toutS∈S⁺⁺_n (R), il existeR∈GL_n(R) tel queS=R^TR. Réciproquement montrer que pour tout

R∈GLn(R),R^TR∈S⁺⁺_n (R).

3) Montrer que l’ensembleS⁺⁺_n (R) est convexe.

B. Autres préliminaires

Les trois questions de cette partie sont mutuellement indépendantes.

4) SoitK un sous-ensemble compact deEetC onv(K) son enveloppe convexe. On rappelle queH est l’ensemble des (λ1, ...,λn+1)∈(R⁺)ⁿ⁺¹tels que

n+1

X

i=1

λi=1. Définir une applicationφdeRⁿ⁺¹×Eⁿ⁺¹dansEtelle queC onv(K)=φ(H× Kⁿ⁺¹). En déduire queC onv(K) est un sous-ensemble compact deE.

5) On désigne pargun endomorphisme deEtel que pour tousx,ydansE,〈x|y〉 =0 implique〈g(x),g(y)〉 =0.

Montrer qu’il existe un nombre réel positifk tel que pour toutx∈E,°

°g(x)°

°=kkxk. (On pourra utiliser une base orthonormée (e₁,e₂, ...,e_n) deEet considérer les vecteurse₁+e_iete₁−e_ipouri∈{2, ...,n}.)

En déduire quegest la composée d’une homothétie et d’un endomorphisme orthogonal.

1

6) On se place dans l’espace vectoriel euclidienMn(R) muni du produit scalaire défini par〈A|B〉 =Tr(A^TB). (On ne demande pas de vérifier que c’est bien un produit scalaire.)

Montrer que le groupe orthogonalO_n(R) est un sous-groupe compact du groupe linéaire GL_n(R).

C. Quelques propriétés de la compacité

Soit (x_n)n∈Nune suite d’éléments deEpour laquelle il existe un reelε>0 tel que pour tous entiers naturelsn6=p, on ait

°°x_n−x_p°

°≥ε.

7) Montrer que cette suite n’admet aucune suite extraite convergente.

SoitKun sous-ensemble compact deE. On noteB(x,r) la boule ouverte de centrex∈Eet de rayonr. 8) Montrer que pour tout réelA>0, il existe un entierp>0 etx1, ...,xpéléments deEtels queK⊂

p

[

i=1

B(xi,ε). (On pourra raisonner par l’absurde.)

On considère une famille (Ωi)_∈I de sous-ensembles ouverts deE,I étant un ensemble quelconque, telle queK ⊂ [

i∈I

Ωi.

9) Montrer qu’il existe un réelα>0 tel que pour toutx∈K, il existei∈Itel queB(x,α) soit contenue dans l’ouvertΩi. (On pourra raisonner par l’absurde pour construire une suite d’éléments deK n’ayant aucune suite extraite conver- gente.) En déduire qu’il existe une sous-famille finie (Ωi₁, ...,Ωi_p) de la famille (Ωi)i∈Itelle queK⊂

p

[

k=1

Ωi_k. Soit (F_i)_i∈Iune famille de fermés deEcontenus dansKet d’intersection vide :\

i∈I

F_i=Ø.

10) Montrer qu’il existe une sous-famille finie (F_i1, ...,F_ip) de la famille (F_i)_i∈Itelle que

p

\

k=1

F_ik=Ø.

D. Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

SoitGun sous-groupe compact de GL(E) etKun sous-ensemble non vide, compact et convexe deE. Pour toutx∈E, on poseN_G(x)=sup

u∈Gku(x)k.

11) Montrer queNGest bien définie, et que c’est une norme surE.

12) Montrer en outre queN_Gvérifie les deux propriétés suivantes :

•pour tousu∈Getx∈E,NG(u(x))=NG(x) ;

•pour tousx,ydansEavecxnon nul,N_G(x+y)=N_G(x)+N_G(y) si et seulement siλx=yoùλ∈R⁺.

Pour la deuxième propriété on pourra utiliser le fait que siz∈E, l’application qui àu∈Gassocieku(z)kest continue.

On considère un élémentudeL(E) et on suppose queKest stable paru, c’est-à-dire queu(K) est inclus dansK. Pour toutx∈Ketn∈N^∗, on posex_n=1

n

n−1X

i=1

uⁱ(x). Enfin, on appelle diamètre deKle nombre réelδ(K)= sup

x,y∈K

°°x−y°

°qui est bien défini carKest borné.

13) Montrer que la suite (x_n)_n∈N∗est à valeurs dansKet en déduire qu’il en existe une suite extraite convergente vers un élémentadeK. Montrer par ailleurs que pour toutn∈N^∗,ku(x_n)−x_nk ≤δ(K)

n . En déduire que l’élémentadeKest un point fixe deu.

On suppose maintenant que le compact non vide convexeKest stable par tous les éléments deG. Soitrun entier>1, u₁,u₂, ...,u_rdes éléments deGetu=1

r

r

X

i=1

u_i.

14) Montrer queKest stable paruet en déduire l’existence d’un élémenta∈Ktel queu(a)=a.

15) Montrer queN_G Ã1

r

r

X

i=1

u_i(a)

!

= 1 r

r

X

i=1

N_G(u_i(a)). En déduire que pour toutj ∈{1, ...,r}, on aN_G(u_j(a)+

r

X

i=1 i6=j

u_i(a))=

N_G(u_j(a))+N_G(

r

X

i=1 i6=j

u_i(a)).

16) En déduire, pour toutj∈{1, ...,r}, l’existence d’un nombre réelλj≥0 tel queu(a)=λj+1 r uj(a).

2

17) Déduire de la question précédente queaest un point fixe de tous les endomorphismesu_i oùi∈{1, ...,r}.

18) En utilisant le résultat de la question 10, montrer qu’il existea∈Ktel que pour toutu∈G,u(a)=a.

E. Sous-groupes compacts de GL

(R)

On se place à nouveau dans l’espace vectoriel euclidienMn(R) muni du produit scalaire défini par〈A,B〉 =Tr(A^TB). On rappelle que GLn(R) désigne le groupe linéaire etOn(R) le groupe orthogonal d’ordren. SoitGun sous-groupe compact de GLn(R). SiA∈G, on définit l’applicationρAdeMn(R) dans lui-même par la formuleρA(M)=A^TM A. On vérifie facilement, et on l’admet, que pour toutM∈Mn(R), l’application qui àA∈GassocieρA(M) est continue.

On noteH={ρA / A∈G}, ∆={A^TA / A∈G} etK=C onv(∆).

19) Montrer queρA∈GL(Mn(R)) et queHest un sous-groupe compact de GL(Mn(R)).

20) Montrer queS⁺⁺_n (R) et queK est un sous ensemble compact deS⁺⁺_n (R) qui est stable par tous les éléments deH.

21) Montrer qu’il existeM∈K tel que pour tout A∈G,ρA(M)=M. En déduire l’existence deN ∈GL(Mn(R)) tel que pour toutA∈G,N AN⁻¹∈On(R). En déduire enfin qu’il existe un sous-groupeG1deOn(R) tel queG=N⁻¹G1N = {N⁻¹B N ;B∈G1}.

SoitKun sous-groupe compact de GL_n(R) qui contientO_n(R), etN∈GL_n(R) tel queN K N⁻¹∈O_n(R). On désigne par g l’automorphisme deRⁿ de matriceN dans la base canonique deRⁿ, parP un hyperplan deRⁿ et par la symétrie orthogonale par rapport aP.

22) Montrer queg◦σP◦g⁻¹est une symétrie, puis que c’est un endomorphisme orthogonal deRⁿ. En déduire queg◦ σP◦g⁻¹=σg(P). Montrer quegconserve l’orthogonalité et en déduireK.

Fin du problème

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