Liste 28

(1)

1

Exercice 1:

Soit : f(x)=^{1 sin}

cos x x

 si x ,

2 2

  

  

f(

2

 )=0

1)a- Montrer que f est continue à gauche en

2

 . b- Montrer que f est dérivable à gauche en

2

 et que fg’(

2

 )= -¹

2. 2)a- Montrer que pour tout x ,

2 2

  

  , f’(x)= - ¹

1 sin x . b- En déduire que f est une bijection de ,

2 2

 

 

  sur un intervalle J à préciser.

On note g=f ^–1, calculer g(0) puis g(1).

c- Montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique ^ et que

6 4

   .

d- Tracer (C_f) et (C_f^-1).

3)a- Montrer que f²(x)=^{1 sin}

1 sin x x



 , ,

x _  2 2_

    puis exprimer sinx en fonction de f²(x).

b- Montrer que g est dérivable sur J et que  x J, g’(x)= ²₂

1 x



 . 4) Soit : h(x)=g(x)-g(¹

1 x x



 ) , pour x^

 

^0,1 ^.

h(1)=

2



a- Montrer que h est continue sur [0,1].

b- Montrer que h est dérivable sur

 

^0,1 et calculer h’(x).

c- En déduire l’expression de h(x).

5) Soit U_n=

0

1 1

( )

n

k

n g  n k



 



^{, n}^ ^*^.

a- Montrer que pour tout n ^*, ¹ ( ¹) ¹ ( ¹ )

n 2

n n

g U g

n^ n   n^  n . b- En déduire que (Un) est convergente et que lim _n

n U 

  .

(2)

2

Exercice 2:

Soit la fonction f définie par: ⁴

( ) 1 2

f x tgx si x

tgx f

 



  

 



 



1)a- Montrer que f est continue sur , 4 2

 

 

 . b- Montrer que f est dérivable à gauche en

2

 et que f’(

2

 )=1.

En déduire que f est dérivable sur , 4 2

 

 

  et que f’(x)= ¹ ₂

(sinx cos )x , pour tout

x ,

4 2

 

 

 .

c- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation sur ,

4 2

 

 

 .

2)a- Montrer que f est une bijection de , 4 2

 

 

  sur



^^,1



^{, soit g=f}^-1 calculer g(¹

2 ) et g(0).

b- Tracer Cf et Cg dans le même repère.

3) Montrer que g est dérivable sur



^^,1



et que pour tout x1 on a : g’(x)= ₂ ¹

2x 2x 1.

4)soit  la fonction définie par:

2 1

( ) ( ) ]0,1]

2 (0) 4

x g x si x

 x

 

   



  



a- Montrer que  est continue sur

 

^0,1 ^.

b- Montrer que  est dérivable sur

 

^0,1 et calculer ’(x).

c- En déduire que pour tout x ^

 

^0,1 ^{on a :}^^(x)-g(x)=-

4

 . d- Montrer que  est dérivable à droite en 0 et calculer ’(0) Exercice 3:

On considère l’application f définie sur

 

^{0, 4} par : f(x)=

2

2 4

4 x x x



 , on désigne par C_f sa courbe dans un repère orthonormé (O,i j, ).

1)a- Etudier les variations de f.

(3)

3

b- Montrer que f est une bijection de

 

^{0, 4} ^{sur IR.}

c- Soit g la bijection réciproque de f. Montrer que pour tout x , g(x)=2+

2

2 4 x x  .

2) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans

 

^{0, 4} une solution unique  2.

3)a- Déterminer une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2.

b- Etudier la position de Cf par rapport à . c- Tracer Cf,  et la courbe C’ représentant g.

4) On considère la suite (U_n) définie par la donnée de U₀  et pour tout n ,U_n_₁ g U( _n).

a- Démontrer que pour tout n ; U_n. b- Déterminer graphiquement le signe de g(x)-x.

c- En déduire le sens de variation de (Un).

d- Montrer que la suite (Un) admet une limite l que l’on précisera.

Soit la fonction  définie sur , 2 2

 

 

  par :

( ) 2 ] , ]

(2 ) 2 2

( ) 1

2 2

x si x

g tgx

  

 

   



  



a- Montrer que pour tout x , 2 2

  

  , (x)= ¹

1 sin x . b- Montrer que  réalise une bijection de ,

2 2

 

 

  sur un intervalle J que l’on déterminera.

c- Calculer ^-1(2) et ^-1(2+ 2) ;

d- Etudier la dérivabilité de ^-1 sur J et déterminer sa fonction dérivée.

Exercice 4:

A

On considère la fonction f définie sur 0, 2

 

 

  par f(x)= ^{2 cos}

1 cos x

 x

1)a- Etudier la dérivabilité de f à gauche en

2

 . b- Justifier que f est dérivable sur 0,

2

 

 

 et que f’(x)= ^sin₂

(1 cos ) ( ) x x f x



2)a- Etudier les variations de f.

b- En déduire que f admet une bijection réciproque g définie sur IR.

c- Montrer que

0

( ) 2 lim

x

g x x







=0

d- Montrer que g est dérivable sur IR et que g’(x)=

2 2

2

( 2) 1

x

x x



  .

(4)

4

3) Montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique  , et que

3 2

   .

4) Tracer dans un même repère orthonormé (O,i j, ) les courbes de f et g.

B :

On considère la fonction  définie par (x)=f(

2 x

  ) 1)a- Montrer que  est définie et continue sur 0,

2

 

 

 . b- Montrer que  réalise une bijection de 0,

2

 

 

  sur IR+. 2) On désigne par  la réciproque de .

a- calculer pour tout x0, ( ( ) 2 g x

 _

).

b- En déduire que pour tout x0 ; (x)= ( ) 2 g x

 _

3) Soit la suite (Un) définie sur IN^* par Un=

2

1 ( )

n

k n

k

n  n



 



^.

a- Montrer que pour tout entier non nul n, on a :n ¹ ( ¹) _n n ¹ ( ²)

n^   n U  n^   n .

b- En déduire que (Un) est convergente vers une limite que l’on déterminera.

Exercice 5:

Soit f la fonction définie sur I=

 

^{1, 2} ^{par f(x)=} ² ²

1 x x x



 . A.1)a- Montrer que f est dérivable sur

 

^{1, 2} et calculer f’(x).

b- f est-elle dérivable à gauche en 2 ?

2) Etudier les variations de f et construire sa courbe (Cf) dans un repère orthonormé (O,i j, ).

3) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans I une solution unique  et que

3 2

2  .

4)a- Montrer que f réalise une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera.

b- Soit g=f ^–1, construire (Cg).

c- Montrer que pour tout x^J, g(x)=1+

2

1 1x .

(5)

5

B. Soit U la suite réelle définie sur IN par : ⁰

1

( )

n n

U

U _ g U

 

 



1) Montrer que pour tout n ; 1u_n 2. 2) Montrer que pour tout x^

 

^{1, 2} ^, ^{'( )} ¹

g x  2 . 3) Etablir que pour tout n , ₁ ¹

n 2 n

U _   U  et en déduire que U converge puis calculer sa limite.

C. Soit h la fonction définie sur 0, 4

 

 

  par

( ) 1 0,

( 2 ) 4

( ) 1 4

h x six

g tg x h



   

  

  

 



1) Montrer que 0, x _ 4_

   , h(x)= ¹

1 cos 2x . 2) Montrer que h réalise une bijection de 0,

4

 

 

  sur un intervalle K que l’on précisera.

3) Calculer h^-1(²

3 ) et h^-1(2 2).

4) Etudier la dérivabilité de h^-1 sur K et déterminer sa fonction dérivée.

Exercice 6:

A/ Soit f la fonction définie sur [0,] par f(x)=

3 x 1 3cos

2  .

1/ Dresser le tableau de variations de f.

2/ Montrer que l’équation f(x)=x admet dans [0,] une solution unique  . vérifier que ]0,

2

 [.

3/ Soit la suite U définie sur IN par : 0 <U0 <  et pour tout nIN ; Un+1= f(Un).

a) Montrer que pour tout nIN on a : 0  Un

2

 .

b) Montrer par récurrence que pour tout nIN on a : U_2n<<U_2n+1. c) Montrer que pour tout x[0,] ; |f(x)-|

3

2 |x-|.

d) En déduire que pour tout nIN ; |Un-|(

3

2)ⁿ|U0-|.

Trouver alors _lim_U_n

n . 4/ On pose Sn=  

 n  0 k

k 1

k (U )

) 1

(  .

a) Montrer que pour tout nIN ; S_n>0.

b) Montrer que la suite S est croissante.

c) Montrer que pour tout nIN ; |S_n| 3|U₀-|. (on pourra utiliser 3/d/).

(6)

6

B/ Soit la fonction g :] [ IR ,2

2 

 

x















2[ , 0 [ x si 3x tgx 4

] 0 2 , ] x si tgx





1/ a) Etudier la dérivabilité de g en 0.

b) Dresser le tableau de variation de g.

c) Tracer dans un repère orthonormé (O, i ,j ) la courbe  représentative de g.

2/ Soit h la restriction de g à ] ,0[ 2

 .

a) Montrer que h réalise une bijection de] ,0[ 2

 sur un intervalle I que l’on précisera .

b) Tracer la courbe de h ^–1.

c) Montrer que pour tout xI ; h^-1(x)+h^-1(

x 1)= -

2

 .

3/ Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique  non nulle et que

] [ ,3 6



 .

4/ Soit  la fonction définie sur [, ] 3

 par (x)=x-

) x ( ' g

) x ( g . a) Démontrer que pour tout x [, ]

3

 ; (x) x.

Prouver que  est l’unique solution de l’équation (x)=x.

b) Dresser le tableau de variations de . En déduire que si x[, ] 3

 alors

(x) [, ] 3

 .

5/ Soit V la suite définie sur IN par V0=

3

 et pour tout nIN ; Vn+1=(Vn).

a) Montrer que pour tout nIN ;  Vn

3

 . b) Montrer que la suite V converge vers 