2010-2011
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Exercice 1:
A/ On considère l’application f définie sur ]0,4[ par
² x x 4
4 x ) 2 x (
f
;
on désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé(O, i,j). 1/a) étudier les variations de f.
b) montrer que f réalise une bijection de ]0,4[ sur IR.
c) soit g la réciproque de f ; montrer que pour tout x IR, g(x)= 2+
4
² x
x 2
2/ montrer que l’équation f(x)=x admet dans ]0,4[ une solution unique >2.
3/ a) déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse 2.
b) étudier la position de par rapport à .
c) tracer , et ’ : courbe représentative de g.
B/ on considère la suite U définie sur IN par : U0 > et Un+1=g(Un) , n IN.
1/ démontrer que Un > ; nIN.
2/ déterminer graphiquement le signe de g(x)-x.
3/ en déduire que U est décroissante.
4/ montrer que U admet une limite l que l’on précisera.
C/ soit la fonction définie sur ] ,2 2
] par (
2
)=
2
1 et (x)=
)) x ( tg 2 ( g
2 si x]
,2 2
[.
1/ montrer que pour tout x]
,2 2
] ; (x)=
x sin 1
1
. 2/ montrer que réalise une bijection de ]
,2 2
] sur un intervalle J que l’on précisera .
3/ calculer -1(2) et -1(2+2)
4/ étudier la dérivabilité de -1sur J et déterminer sa fonction dérivée.
Exercice 2:
A/ on considère la fonction f définie sur ]0, 2
]par f(x)=
x cos 1
x cos 2
. 1/a/ étudier la dérivabilité de f à gauche en
2
.
b/ justifier que f est dérivable sur ]0, 2
[ et que f’(x)=
) x ( f )² x cos 1 (
x sin
.
2/ a/ étudier les variations de f.
b/ en déduire que f admet une fonction réciproque g définie sur IR+.
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c/ montrer que 0
x ) 2 x ( g lim
0
x
.
d/ montrer que g est dérivable sur IR+ et que g’(x)=
1
² x ) 2
² x (
x 2
.
3/ montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique et que 2
3
.
4/ tracer f et g dans le même repère orthonormé (O, i,j). B/ on considère la fonction définie par : (x)=f(
2
-x).
1/ a/ montrer que est définie et continue que [0, 2
[.
b/ montrer que réalise une bijection de [0, 2
[ sur IR+. 2/ on désigne par la bijection réciproque de .
a/ calculer pour tout x 0 , ( 2
-g(x)).
b/ en déduire que pour tout x 0, (x)=
2
-g(x).
3/ soit la suite U définie sur IN* par Un=
n 2
n k
² ) n ( k n
1 .
a/ montrer que pour tout nIN* on a : )
n ( 2 n
1 U n
n) ( 1 n
1 n
n
.
b/ en déduire que U converge vers 2
-.
Problème 3: (les parties A et B sont indépendantes).
A/ soit f la fonction définie sur [0,] par f(x)=
3 x 1 3cos
2 .
1/ dresser le tableau de variations de f.
2/ montrer que l’équation f(x)=x admet dans [0,] une solution unique . vérifier que ]0,
2
[.
3/ soit la suite U définie sur IN par : 0 <U0 < et pour tout nIN ; Un+1= f(Un).
a) montrer que pour tout nIN on a : 0 Un
2
.
b) montrer par récurrence que pour tout nIN on a : U2n<<U2n+1. c) montrer que pour tout x[0,] ; |f(x)-|
3
2 |x-|.
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d) en déduire que pour tout nIN ; |Un-|(
3
2) |U0-|.
Trouver alors limUn
n . 4/ on pose Sn=
n 0 k
k 1
k (U )
) 1
( .
a) montrer que pour tout nIN ; Sn >0.
b) montrer que la suite S est croissante.
c) montrer que pour tout nIN ; |Sn| 3|U0-|. (on pourra utiliser 3/d/).
B/ soit la fonction g :] [ IR
,2
2
x
2[ , 0 [ x si 3x tgx 4
] 0 2 , ] x si tgx
1/ a) étudier la dérivabilité de g en 0.
b) dresser le tableau de variation de g.
c) tracer dans un repère orthonormé (O, i ,j ) la courbe représentative de g.
2/ soit h la restriction de g à ] ,0 [ 2
.
a) montrer que h réalise une bijection de] ,0 [ 2
sur un intervalle I que l’on précisera .
b) tracer la courbe de h –1.
c) montrer que pour tout xI ; h-1(x)+h-1( x 1 )= -
2
.
3/ montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique non nulle et que
] [ ,3 6
.
4/ soit la fonction définie sur [, ] 3
par (x)=x- ) x ( ' g
) x ( g . a) démontrer que pour tout x [, ]
3
; (x) x.
Prouver que est l’unique solution de l’équation (x)=x.
b) dresser le tableau de variations de . En déduire que si x[, ] 3
alors
(x) [, ] 3
.
5/ soit V la suite définie sur IN par V0= 3
et pour tout nIN ; Vn+1=(Vn).
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a) montrer que pour tout nIN ; Vn 3
. b) montrer que la suite V converge vers .
Problème 4 : (les parties A et B sont indépendantes).
A/ soit la fonction f définie sur [0, ] 2
par : f(x)=
x sin 1
1
et la fonction définie
sur ]0, ] 2
par (x)= sinx x
x 1
. 1/a) étudier les variations de .
b) en déduire que l’équation f(x)=x admet une solution unique ]0, ] 2
. 2/ montrer que f induit une bijection de [0, ]
2
sur un intervalle J à préciser.
3/a) soit xJ exprimer sin(f –1(x)) et cos(f –1(x)) en fonction de x.
b) en déduire les réels f –1( ) 3
2 et f –1(2-2) c) calculer f –1(
x cos 1
1
).
B/ on considère la fonction g définie sur ]0, ] 2
par g(x)=
x sin
x 2 sin . 1/ étudier la dérivabilité de g à gauche en
2
.
2/ montrer que g est dérivable sur ]0, [ 2
et calculer g’(x) pour tout x ]0,
2 [
.
3/ montrer que g réalise une bijection de ]0, ] 2
sur [0,+[.
4/ montrer que g-1 est dérivable sur [0,+[ et que pour tout x[0,+[ (g –
1)’(x)=
4 x x 4
4
.
5/ représenter dans le même repère g et g-1 6/ pour tout x >0 on pose h(x)= g –1( 2x)+g –1(
x 2 ).
a) calculer g –1(2).
b) montrer que h est dérivable sur ]0,+[ et calculer h’(x).
c) montrer que pour tout x >0 ; h(x)=
2
.
Problème 5:
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Soit la fonction f définie sur [0, 4
] par f(x)=tg3x.
1/a) étudier les variations de f.
b) démontrer que f réalise une bijection de [0, 4
] sur un intervalle I à préciser.
c) dresser le tableau de variation de f –1.
d) tracer dans le même repère les courbes f et f -1.
2/ a) montrer que f –1 n’est pas dérivable à droite en 0, calculer (f –1)’(1).
b) étudier la dérivabilité de f –1 sur I.
c) déterminer( f –1)’(x) pour x I \ {0}.
3/ on pose g(x)= f(x)-x , pour tout x [0, 4
].
a) calculer g’(x) et g’’(x).
b) étudier les variations de g’ sur [0, 4
] et montrer que l’équation g’(x)=0 admet
sur ]0, 4
[ une solution unique x0.
c) en déduire le tableau de variations de g ; donner le signe de g(x0).
4/ a) montrer que l’équation f(x)=x admet sur ]0,
4
[ une solution unique et que x0 < <
4
.
b) montrer que pour tout x]0, [ : f(x) < x.
c) en déduire que pour tout x ]0,[ : f –1 (x) > x.
5/on considère la suite U définie par la donnée de U0]0,[ et Un+1=f –1(Un).
a) montrer que pour tout nIN ; 0 < Un < . b) montrer que U est croissante.
c) en déduire que U est convergente et calculer sa limite.
6/ soit h la fonction définie sur [0, 4
] par f(x)= 4 x tgx
. Calculer h(0) et h(
4
), en déduire qu’il existe au moins une valeur ]0, 4
[ telle que h’()=0.
Problème 6:
Soit f la fonction définie par : f(
2
)=0 et f(x)=
x cos
x sin 1
si x]- 2
, 2
[.
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1/ a) montrer que f est continue à gauche en 2
.
b) montrer que f est dérivable à gauche en 2
et que f’g( 2
)=- 2 1. 2/ a) montrer que pour tout x]-
2
, 2
[, f’(x)=
x sin 1
1
.
b) en déduire que f est une bijection de ]- 2
, 2
] sur un intervalle J à préciser.
On note g=f –1, calculer g(0) et g(1).
c) montrer que l’équation f(x)=x admet une solution unique et que 4
6
.
d) tracer f et f –1 dans un même repère.
3/ a) montrer que f 2(x)=
x sin 1
x sin 1
; x ]- 2
, 2
] puis exprimer sinx en fonction de f ²(x).
b) montrer que g est dérivable sur J et que g’(x)=
² x 1
2
; xJ.
4/ soit h la fonction définie par : h(1)=
2
et h(x)=g(x) - g( ) x 1
x 1
. a) montrer que h est continue sur [0,1].
b) montrer que h est dérivable sur [0,1[ et calculer h’(x) ; en déduire l’expression de h(x).
5/ soit U la suite définie par Un=
n 0 k
k ) n ( 1 n g
1 ; nIN*.
a) montrer que pour tout nIN* ; )
n 2 ( 1 n g
1 U n
n) ( 1 n g
1 n
n
.
b) en déduire que Un est convergente et que
n n
limU . Problème 7:
Soit f la fonction définie par : f(
2
)=1 et f(x)=
tgx 1
tgx
x]- 4
, 2
[.
1/a) montrer que f est continue sur ]- 4
, 2
].
b) montrer que f est dérivable à gauche en 2
et que f’g( 2
)=1.
c) en déduire que f est dérivable sur ]- 4
, 2
] et que f’(x)=
)² x cos x (sin
1
;
x] 4
, 2
].
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d) dresser le tableau de variation de f sur ]- 4
, 2
].
2/ a) montrer que f est une bijection de ]- 4
, 2
] sur ]-,1].
b) soit g =f –1 ; calculer g(
2
1) et g(0).
c) tracer dans un même repère f et g.
3/ montrer que g est dérivable sur ]-,1] et que g’(x)=
1 x 2
² x 2
1
; x 1.
4/ soit la fonction définie par : (0)=- 4
et (x)=g(
x 2
1 x 2
) si x]0,1].
a) montrer que est continue sur [0,1].
b) montrer que est dérivable sur ]0,1[ et calculer ’(x).
c) en déduire que (x)-g(x)=- 4
; x[0,1].
d) montrer que est dérivable à droite en 0 et calculer ’(0).
Problème 8:
A/ soit f la fonction définie sur [-1,1[ par f(x)=
x 1
x 1
et sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1/ a) montrer que f est dérivable sur ]-1,1[ et que f’(x)=
) x ( f )² x 1 (
1
.
b) étudier la dérivabilité à droite de f en –1 et interpréter géométriquement le résultat obtenue
c) dresser le tableau de variation de f
2/ a) donner une équation cartésienne de la tangente T à la courbe au point A d’abscisse 0
b) vérifier que pour tout x[-1,1[ f(x)-(x+1)=
² x 1 1
) x ( f
² x
; en déduire que la courbe est au dessus de T
c) construire et T
3/ a) montrer que f réalise un bijection de [-1,1[ sur R+ ; soit g la fonction réciproque de f
b) donner l’expression de g(x) pour xIR+
c) construire sa courbe ’ dans le même repère que B/ soit h la fonction définie sur ]0,] par h(x)=f(cosx) 1/ a) montrer que h est continue sur ]0,]
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b) montrer que pour tout x]0,] on a h(x)=cotg(
2 x )
c) étudier les variations de h, en déduire que h réalise une bijection de ]0,] sur IR+ ; on note sa fonction réciproque
2/ a) montrer que est dérivable sur IR+ et que ’(x)=
² x 1
2
b) soit w la fonction définie sur IR+* par w(x)=(x)+(
x 1 ) calculer w’(x) et w(1) et en déduire que pour tout xIR+*(x)+(
x 1)= 3/ soit V la suite définie sur IN par Vn=
n 2
n k
) k 1 ( n
1
a) montrer que pour tout nIN ; (2n) Vn(n)
b) en déduire que V est convergente et calculer sa limite.
Problème 9:
A/ soit la fonction f définie sur l’intervalle I=]1,2] par f(x)=
1 x
² x x 2
1/a) f est-elle dérivable à gauche en 2 ?
b) étudier la dérivabilité de f sur I et calculer f’(x).
c) dresser le tableau de variation de f.
2/ montrer que l’équation f(x)=x admet dans I une solution unique tel que 3/2<<2.
3/ a) montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera.
b) soit g la réciproque de f ; montrer que pour tout xJ : g(x)=
² x 1 1 1
. 4/ tracer dans le même repère les courbes f et g
B/ soit la suite U définie par U0=1 et Un+1=g(Un).
1/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un 2
2/ en admettant que pour tout a et b dans [1,2] on a |g(a)-g(b)|
2
1 |a-b| ; montrer que pour tout nIN on a : |Un+1-|
2
1 |Un-|.
3/ en déduire que la suite U est convergente et trouver sa limite.
C/ soit la fonction h définie sur [0,
4
] par : h(
4
)=1 et h(x)=
)) x 2 ( tg ( g
1 ; pour x[0,
4
[
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1/ montrer que pour tout x[0,
4
] ; h(x)=
x 2 cos 1
1
2/ montrer que h est une bijection de [0,
4
] sur un intervalle K que l’on précisera.
3/ calculer h-1(
3
2) et h-1(2-2)
4/ étudier la dérivabilité de h-1 sur l’intervalle K et déterminer sa fonction dérivée.
Problème 10:
A/ soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=1+
1
² x
x
1/ étudier les variations de f sur IR.
2/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i , j) ; préciser les asymptotes de .
3/a) montrer que admet un point d’inflexion I que l’on précisera.
b) écrire un équation de la tangente T à en I.
c) préciser la position relative de T et .
4/ a) tracer et T dans le même repère (O, i , j) . b) que représente I pour ? justifier.
5/ a/ montrer que f est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b) calculer l’expression de f -1(x) pour xJ.
c) tracer la courbe ’ de f –1 dans (O, i,j).
6/ a) montrer que l’équation f(x)=x admet une solution réelle unique. b) vérifier que ]1,2[.
B/ soit la suite U définie sur IN par : U0 réel donné 1 ; et Un+1=f(Un) 1/ montrer que pour tout nIN ; 1 Un.
2/ montrer que pour tout x [1,+[ ; on a 0 f’(x)
2 2
1
3/ en déduire que pour tout n IN ; |Un+1-|
2 2
1 |Un-|.
4/ montrer que pour nIN ; |Un+1-| ( 2 2
1 )n|U0-|.
5/ en déduire que U converge et déterminer sa limite.
6/ on suppose que U0.
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a) montrer que pour tout n IN ; on a Un.
b) étudier le signe de f(x)-x , en déduire que U est monotone.
c) conclure.
