Correction Fiche TP 6

TS Correction Fiche TP 6 _2013-2014

On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = 1

3 sin ³ (x) + 1 2 sin ² (x)

1. Pour tout x ∈ R, f(x + 2π) = 1

3 sin ³ (x + 2π) + 1

2 sin ² (x + 2π) = 1

3 sin ³ (x) + 1

2 sin ² (x) car sin(x + 2π) = sin(x).

En revanche sin(x + π) = − sin(x) et sin ³ (x + π) = − sin(x), donc f est périodique de période 2π.

2. f = 1 3 u ³ + 1

2 u ² , avec u = sin qui est dérivable sur R. Ainsi f est dérivable sur R. Pour tout x ∈ R, on a : f ^′ (x) = 1

3 × 3 × u ^′ (x)u ² (x) + 1

2 × 2 × u ^′ (x)u(x) = cos(x) sin ² (x) + cos(x) sin(x) = sin(x) cos(x)(sin(x) + 1)

x

sin(x) cos(x) sin(x) + 1 Signe de f ^′ (x)

Variations def

0 π/2 π 3π/2 2π

0 + + 0 − − 0

+ 0 − − 0 +

+ + + 0 +

0 + 0 − 0 + 0 − 0

0 0

5 6 5 6

0 0

1 6 1 6

0 0 3. Tableau ci-dessus.

1

π

2 π ^3π 2 2π

O

b b

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