Correction Fiche TP 7

TS Correction Fiche TP 7 _2012-2013

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O; − → u ; − → v ), unité graphique 4cm.

A tout nombre complexe z différent de i, on associe le nombre complexe :

z ^′ = z − 2 + i z + i 1. z = x + iy, x et y étant deux réels.

z ^′ = z − 2 + i

z + i = x + iy − 2 + i

x + iy + i = x − 2 + i(y + 1)

x + i(y + 1) = [(x − 2 + i(y + 1))(x − i(y + 1))]

x ² + (y + 1) ²

⇔ z ^′ = x(x − 2) + (y + 1) ² + i(x(y + 1) − (x − 2)(y + 1)) x ² + (y + 1) ²

⇔ z ^′ = x ² + y ² − 2x + 2y + 1 + i(2y + 2) x ² + (y + 1) ²

On obtient donc :

Re(z ^′ )= x ² + y ² − 2x + 2y + 1

x ² + (y + 1) ² et Im(z ^′ )= 2y + 2 x ² + (y + 1) ² 2. En déduire la nature de :

(a) l’ensemble E des points M d’affixe z, tel que z ^′ soit un réel ;

z ^′ est réel si ⇔ Im(z ^′ )=0 ⇔ 2y + 2 = 0 et x ² + (y + 1) ² 6= 0 ⇔ y = −1 et (x; y) 6= (0; −1)

⇔ M ∈ D privée de A d ^′ affixe − i avec D droite d’équation y = −1.

donc E = D − A (b) l’ensemble F des points M d’affixe z, tel que z ^′ soit imaginaire pur.

z ^′ est réel si ⇔ Re(z ^′ )=0 ⇔ x ² + y ² − 2x + 2y + 1 = 0 et x ² + (y + 1) ² 6= 0

⇔ (x − 1) ² + (y + 1) ² = 1 et (x; y) 6= (0; −1)

⇔ M ∈ C privé de A d ^′ affixe − i avec C cercle de centre B(1; −1) et de rayon 1.

donc F = C − A (c) Représenter ces deux ensembles.

-3 -2 -1 0 1 2

x y

A

B 1

O 1

b b

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