TS Correction Fiche TP 2 2012-2013
EXERCICE 1 :
On considère la fonctionf définie parf(x) = (x−1)√ 1−x2. 1. Ensemble de définitionDf de la fonctionf :
f est le produit de deux fonctionsg et√
uavecu:x7−→1−x2.g est affine donc définie surRet√
uest définie siu>0.
u(x)>0⇔1−x2>0⇔x261⇔x∈[−1; 1].
AinsiDf = [−1; 1].
2. Dérivabilité de la fonctionf surDf. D’après ce qui précède,f =g×√
u. gest dérivable sur Ret√
uest dérivable sur un intervalle sur lequeluest dérivable et strictement positive(théorème du cours) etu(x)>0 sur ]−1; 1[.
On peut donc dire quef est dérivable sur ]−1; 1[ comme produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.
Commef est définie en 1 et en −1, on se doit d’étudier la dérivabilité en ces valeurs en cherchant la limite du taux d’accroissement.
• En 1 : f(x)−f(1)
x−1 = (x−1)√ 1−x2 x−1 =√
1−x2et lim
x→1
√1−x2= 0. Comme la limite est finie, la fonctionf est dérivable en 1 etf′(1) = 0 (présence d’une tangente horizontale).
• En−1 : f(x)−f(−1)
x−(−1) = (x−1)√ 1−x2
x+ 1 = (x−1)
r1−x 1 +x.
x→−1lim 1−x 1 +x = +∞
X→+∞lim
√X = +∞
(composition)
x→−1lim
r1−x
1 +x) = +∞
x→−1lim x−1 =−2
(produit)
xlim→−1(x−1)
r1−x 1 +x=−∞
Comme la limite est infinie, la fonctionf n’est pas dérivable en−1 (présence d’une tangente verticale orientée vers le bas).
x y
1
O 1
−1
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