Correction Fiche TP 7

TS Correction Fiche TP 7 _2011-2012

f la fonction définie par : f (x) = xe ^−x x ² + 1

On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. f définie sur R ?

∀x ∈ R, x ² + 1 6= 0 et l’on peut calculer xe ^{− x} donc f est définie sur R.

2. Limite de f en +∞.

xe ^−x = x

e ^x or lim

x→+∞

e ^x

x = +∞ donc lim

x→+∞

x e ^x = 0.

De plus lim

x→+∞ x ² + 1 = +∞ et donc lim

x→+∞

1

x ² + 1 = 0.

En appliquant la règle de multiplication des limites, on a : lim

x→+∞ f (x) = 0

Interprétation graphique du résultat : La droite d’équation y = 0 (axe des abscisses) est asymptote à C f

en +∞.

3. g(x) = x ³ + x ² + x − 1 définie sur [0; +∞[.

g est une fonction polynôme donc continue et dérivable sur R et en particulier sur [0; +∞[.

On a pour tout x > 0, g ^′ (x) = 3x ² + 2x + 1.

• g ^′ (x) = 0 ⇔ 3x ² + 2x + 1 = 0. Or 3x ² + 2x + 1 ne s’annule pas sur [0; +∞[ car le discriminant est négatif donc g ^′ (x) est du signe du coefficient de x ² : g ^′ (x) > 0, ∀x > 0 et donc g est strictement croissante sur [0; +∞[.

• g(0) = −1 et g(1) = 2. Comme 0 ∈ [−1; 2], g continue et strictement monotone sur [0; +∞[ implique, d’après le théorème de la bijection qu’il existe un unique α dans [0; +∞[ tel que g(α) = 0.

• Tableau de signes de g :

x Signe de g(x)

−∞ α +∞

− 0 +

4. f ^′ (x) et g(x) de signes contraires.

f = N

D avec N = ue ^v (u : x 7−→ x et v : x 7−→ −x) et D : x 7−→ x ² + 1.

D’après les règles de dérivation :

• f ^′ = N ^′ D − N D ^′

D ² et D ^′ : x 7−→ 2x

• N ^′ = u ^′ e ^v + u(e ^v ) ^′ = ue ^v + uv ^′ e ^v (u ^′ : x 7−→ 1 et v ^′ : x 7−→ −1)

• On a donc ∀x > 0, f ^′ (x) = (e ^{− x} − xe ^{− x} )(x ² + 1) − 2x × xe ^{− x}

(x ² + 1) ² = e ^{− x} [(1 − x)(x ² + 1) − 2x ² ]

D ² (x) = − e ^{− x} g(x) D ² (x)

• Comme e ^−x > 0 et D ² (x) > 0 sur R, f ^′ (x) est du même signe que −g(x) donc f ^′ (x) et g(x) sont de signes contraires.

On en déduit le tableau : x Signe de g(x) Signe de f ^′ (x)

Variations de f

0 α +∞

− 0 +

+ 0 −

−∞

−∞

f (α) f (α)

0 0

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Justification de la limite en −∞ :

On fait un changement de variable : on pose X = −x donc si x −→ −∞ alors X −→ +∞.

Expression de f avec X : xe ^−x

x ² + 1 = −Xe ^X

(−X) ² + 1 = − Xe ^X

X ² + 1 = − e ^X X × 1

1 + _X ¹

• lim

X →+∞

1 1 + _X ¹

= 1

• lim

X→+∞ − e ^X

X = −∞ (limite de référence)

• Par produit des limites, lim

X →+∞ − Xe ^X

X ² + 1 = −∞ donc lim

x→−∞ f (x) = −∞

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