Correction Fiche TP 11

TS Correction Fiche TP 11 _2012-2013

1. On pose, pour t 6= −1 et t 6= 1 :

f (t) = t (t

− 1)

f = 1

2 × u

u

avec u : t 7−→ t

− 1 et u

: t 7−→ 2t définies sur l’intervalle ]1; +∞[.

On a donc F primitive de f sur ]1; +∞[ de la forme : F = − 1 2 × 1

u

∀t ∈]1; +∞[, F (t) = − 1

2(t

− 1) + k où k est une constante réelle quelconque.

On veut que F (2) = 5

6 ⇔ − 1

2(2

− 1) + k = 5 6 ⇔ − 1

6 + k = 5

6 ⇔ k = 1.

La primitive cherchée est F ( t ) = − 1

2 ( t

− 1 ) + 1 , pour tout t 6= 1 et t 6= −1.

2. On pose, pour t 6= −1, t 6= 1 et t 6= 0 :

g(t) = 1

t(t

− 1) Pour tout t réel tel que t 6= −1, t 6= 1 et t 6= 0, on a :

a t + b

t − 1 + c

t + 1 = a(t − 1)(t + 1) + bt(t + 1) + ct(t − 1)

t(t − 1)(t + 1) = (a + b + c)t

+ (b − c)t − a t(t

− 1)

Par identification avec l’expression de g(t), on obtient :







a + b + c = 0 b − c = 0

−a = 1

⇔







a = −1 b = c 2b = 1

⇔







a = −1 b =

c =

Ainsi pour t 6= −1, t 6= 1 et t 6= 0, g(t) = − 1

t + 1

2(t − 1) + 1 2(t + 1)

Sur l’intervalle ]1; +∞[, t > 0, t − 1 > 0 et t + 1 > 0, donc une primitive G de g est de la forme : G(t) = − ln t + 1

2 ln(t − 1) + 1

2 ln(t + 1) + k où k est une constante réelle quelconque.

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