Correction Fiche TP 3

TS Correction Fiche TP 3 _2011-2012

On considère la fonction définie sur R par f (x) = x

+ x

− 1.

1. Limites de f en −∞ et en +∞.

x→+∞

lim f (x) = lim

x→+∞

x

= +∞ car à l’∞ la limite d’un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

x→−∞

lim f (x) = lim

x→−∞

x

= −∞

2. f est strictement croissante sur R ?

f est une fonction polynôme donc f est dérivable sur R.

∀x ∈ R, f

(x) = 5x

+ 3x

. f

(x) = 0 ⇔ x

(5x

+ 3) = 0 ⇔ x

= 0 ⇔ x = 0.

Pour tout x 6= 0, f

(x) > 0 et f

(0) = 0. Ainsi la dérivée f

est strictement positive sauf en une valeur isolée 0 donc f est strictement croissante sur R.

3. f (x) = 0 admet une solution unique sur R que l’on note α.

En tant que fonction polynôme, f est continue sur R. D’après la question précédente, f est strictement croissante sur R. f (0) = −1 et f (1) = 1, 0 ∈] − 1; 1[ donc d’après le théorème de la bijection, il existe un unique α de ]0; 1[

tel que f (α) = 0.

∀x ∈] − ∞; 0], f (x) < −1 donc f (x) 6= 0.

∀x ∈ [1; +∞[, f (x) > 1 donc f (x) 6= 0.

En conclusion, f ne s’annule qu’en α compris strictement entre 0 et 1.

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