Correction Fiche TP 5

TS Correction Fiche TP 5 _2011-2012

On considère la fonction f définie sur h

− π 2 ; π

2

i par : f (x) = cos(x) + 1 2 x ² − 1 1. ∀ x ∈ h

− π 2 ; π

2 i

, f ^′ (x) = − sin(x) + x et f ^′′ (x) = − cos(x) + 1 .

∀ x ∈ h

− π 2 ; π

2 i

, − 1 6 cos(x) 6 1 ⇔ − 1 6 − cos(x) 6 1 ⇔ 0 6 − cos(x) + 1 6 2 ⇔ 0 6 f ^′′ (x) 6 2 Comme f ^′′ (x) > 0 sur i

− π 2 ; π

2

h , la fonction dérivée f ^′ est strictement croissante sur h

− π 2 ; π

2 i . De plus, f ^′ (0) = 0 donc f ^′ (x) < 0 sur h

− π 2 ; 0 h

et donc f est strictement décroissante sur h

− π 2 ; 0 i

. De même, f ^′ (x) > 0 sur i

0; π 2

i et donc f est strictement croissante sur h 0; π

2 i . Ce qui se résume dans le tableau suivant :

x Signe de f ^′ (x)

Variations de f

− ^π

2 0 ^π 2

− 0 +

π

8 − 1

π

8 − 1

0 0

π

8 − 1

π

8 − 1

2. Signe de f sur h

− π 2 ; π

2

i . La dérivée f ^′ s’annule en 0 en changeant de signe donc f admet un extremum en 0 qui vaut f (0) = 0. Comme f est décroissante sur h

− π 2 ; 0 i

et croissante sur h 0; π

2

i , il s’agit d’un minimum.

Ainsi ∀ x ∈ h

− π 2 ; π

2

i , f(x) > 0 .

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