TS Correction Fiche TP 2 2011-2012
La suite (un) est définie par :
u0= 0 etun+1= 2un+ 3 un+ 4 . 1. Prouver quef :x7−→ 2x+ 3
x+ 4 est strictement croissante sur [0; +∞[.
Une fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition et sif = u
v alorsf′=u′v−v′u v2 .
∀x∈[0; +∞[,f′(x) = 2(x+ 4)−(2x+ 3)
(x+ 4)2 = 5
(x+ 4)2. De toute évidence,∀x>0,f′(x)>0 donc f est stricte- ment croissante sur [0; +∞[.
2. Prouver que∀n∈N∗, 0< un<1.
On notePn la propriété à démontrer.
Initialisation :n= 1 etu1= 34. Comme 34 ∈]0; 1[,P1est vérifiée.
Hérédité : On suppose quePn est vraie pourunn∈N. C’est à dire que 0< un <1 (∗).
Commef est strictement croissante sur ]0; 1[, on peut "appliquer"f à l’inégalité (∗) sans changer l’ordre, ce qui donne :f(0)< f(un)< f(1)⇔3
4 < un+1<1⇒0< un+1<1, ce qui signifie quePn+1 est vraie.
Conclusion : D’après le principe du raisonnement par récurrence,∀n∈N∗, 0< un<1.
3. En étudiant le signe de la différence un+1−un, prouver que(un)est strictement croissante.
∀n∈N∗, un+1−un= 2un+ 3
un+ 4 −un= −u2n−2un+ 3
un+ 4 = −X2−2X+ 3
X+ 4 en posantX =un.
Comme∀n∈N∗, 0 < un <1, étudier le signe de un+1−un revient à étudier le signe de −X2−2X+ 3
X+ 4 pour
X ∈]0; 1[.
• ∀X ∈]0; 1[, X+ 4>0
• Signe de−X2−2X+ 3 −→ ∀X∈]0; 1[, −X2−2X+ 3>0 (voir tableau) X
Signe de−X2 −2X + 3
−∞ −3 1 +∞
− 0 + 0 +
Ainsi −X2−2X+ 3
X+ 4 >0 pourX ∈]0; 1[ et donc∀n∈N∗, un+1−un >0⇔(un) est strictement croissante.
My Maths Space 1 sur 1
