Justifier l’existence et l’unicit´e deφ etψ

Universit´e de Lille L3 Math´ematiques

2017-2018 M-62

DS du 18 mai 2018 Dur´ee 3h

Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.

La correction tiendra compte du soin apport´e `a la r´edaction. En particulier, les raisonnements doivent ˆetre expos´es rigoureusement, et les th´eor`emes utilis´es doivent ˆetre ´enonc´es pr´ecis´ement.

Exercice 1 R´esoudre sur Rl’´equation

y⁰+y = max(t,0) (E₁)

Exercice 2

Soit T > 0 et a, b:R→ R deux fonctions continues et T-p´eriodiques. On consid`ere l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰+a(t)y⁰+b(t)y= 0 (E₂) et on note

∗ φla solution maximale de (E₂) v´erifiant φ(0) = 1, φ⁰(0) = 0,

∗ ψ la solution maximale de (E₂) v´erifiant ψ(0) = 0, ψ⁰(0) = 1.

1. Justifier l’existence et l’unicit´e deφ etψ; quel est leur intervalle de d´efinition ?

2. Montrer que (φ, ψ) constitue un syst`eme fondamental de solutions de (E<sub>2</sub>). Donner en fonction deφetψl’expression de la solution de (E2) correspondant `a la condition initiale (y(0), y⁰(0)) = (c, d).

3. Soit M =

φ(T) ψ(T) φ⁰(T) ψ⁰(T)

: justifier queM est inversible.

4. Soit h une solution de (E2) : montrer que g : t 7→ h(t+T) est aussi solution de (E2).

Montrer que si h=cφ+dψ, alors g=Cφ+Dψ o`u C

D

=M c

d

. 5. Quelle est la condition n´ecessaire et suffisante portant surM et

c d

pour que la solution donn´ee dans la question 2. soit T-p´eriodique ?

1

Exercice 3

On consid`ere l’´equation diff´erentielle y⁰ = sin

1 y

(E3)

1. Montrer que pour toute condition initialey(0) =y₀ (y₀ 6= 0), il existe une unique solution maximale (ϕ, J). V´erifier que, si (ϕ, J) est solution de (E3), alors (−ϕ, J) est aussi solution.

2. D´eterminer les solutions stationnaires.

3. Montrer que si y0 ∈]_π¹; +∞[, alors la solution maximale est globale. Montrer qu’elle est strictement croissante et que ϕ(t)−−−−→

t→−∞

1

π etϕ(t)−−−−→

t→+∞ +∞.

4. Montrer que si y0 ∈]0;_π¹[, alors la solution maximale est globale, monotone, et admet des limites en −∞et +∞ qu’on d´eterminera en fonction de y0.

5. Tracer l’allure des solutions correspondant `a y0≥ <sub>4π</sub><sup>1</sup> , puis `a y0≤ −_4π¹ .

Exercice 4

On s’int´eresse au syst`eme diff´erentiel (S)

x⁰ = x+ sin(3x−y) y⁰ = e^x−1

1. Justifier que pour toute condition initiale (x(0), y(0)) = (x0, y0), le probl`eme admet une unique solution maximale, not´ee (ϕ,]T∗;T^∗[) avecϕ= (ϕ₁, ϕ₂).

2. On cherche `a montrer que T^∗= +∞.

(a) Montrer que pour toutt∈[0;T^∗[, |ϕ₁(t)−ϕ1(0)| ≤Rt

0(|ϕ₁(s)|+ 1) dspuis que

∀t∈[0;T^∗[, |ϕ₁(t)|+ 1≤ |x₀|+ 1 + Z t

0

(|ϕ₁(s)|+ 1) ds (b) En d´eduire que∀t∈[0;T^∗[, |ϕ₁(t)| ≤(|x₀|+ 1)e^t.

(c) On suppose par l’absurde que T^∗ <+∞ : montrer que ϕ₁ etϕ₂ sont alors born´ees sur [0;T^∗[. Conclure.

3. D´eterminer les points d’´equilibre du syst`eme ; on les notera (a_k, b_k) (k∈Z).

4. On note J(x, y) la matrice jacobienne du syst`eme au point (x, y).

(a) Montrer que

J(x, y) =

1 + 3 cos(3x−y) −cos(3x−y)

e^x 0

et calculer sa valeur A_k=J(a_k, b_k) aux points d’´equilibre.

(b) Montrer que sik est pair, alorsA_k poss`ede deux valeurs propres r´eelles distinctes de mˆeme signe (on ne demande pas de les calculer). En d´eduire l’allure dans une base de vecteurs propres (qu’on ne demande pas de d´eterminer) du portrait de phase du syst`eme diff´erentielX⁰ =A_kX.

2

(c) Montrer que si k est impair, alorsA_k poss`ede deux valeurs propres r´eelles de signes oppos´es (on ne demande pas de les calculer). En d´eduire l’allure dans une base de vecteurs propres (qu’on ne demande pas de d´eterminer) du portrait de phase du syst`eme diff´erentielX⁰ =A_kX.

5. On revient au syst`eme diff´erentiel (S). On suppose x₀ >1.

(a) Tracer l’allure du champ de vecteurs sur l’axe {x=x₀}.

(b) Montrer qu’il existeε >0 tel que ∀t∈]0;ε[,ϕ1(t)> x0.

(c) En d´eduire que ∀t >0,ϕ1(t)≥x0 puis queϕ⁰₁ est minor´e par une constante stricte- ment positive.

(d) Montrer queϕ₁(t)−−−−→

t→+∞ +∞ etϕ₂(t)−−−−→

t→+∞ +∞.

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