Licence Informatique 2 e année Informatique théorique II
Examen 2
esession - 24/01/2006 - 2h00
Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction, de la lisibilité des copies et éventuellement de la précision des références au cours.
1 Les 3 capitaines (6 points)
3 ferries font des traversées entre Calais et 3 ports différents du nord de l’Europe. Le premier met 23 heures pour faire l’aller-retour et il est parti de Calais il y a 16 heures. Le second est parti il y a 8 heures et fait une rotation en 11 heures. Le troisième est parti il y a 10 heures et met 13 heures pour faire l’aller-retour. Quand les 3 capitaines, qui sont de vieux copains, pourront- ils se retrouver tous en même temps à Calais pour boire un coup au bar des Pirates? On néglige les temps de chargement et de déchargement des ferries, et on considère que les capitaines ne prennent jamais de vacances.
Les calculs sont à justifier par des résultats du cours.
2 Décomposition en éléments simples (6 points)
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle (x x3−21x−7
−1)2(x2+x+1). Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.
3 Résolution de récurrence (8 points)
Résoudre par la méthode des séries génératrices la récurrence suivante : a0= 0,a1= 1, et pourn>2,an−5an−1+ 6an−2= n1!
Les calculs doivent être explicités
1
Les 3 capitaines
Le système de congruence est : – x≡7mod23
– x≡3mod11 – x≡3mod13
On trouve x = -15012 mod 3289 soit 1433 mod 3289.
Décomposition en éléments simples
6
x−1+(x−9
−1)2 +x−25+xx+8+1
Résolution de récurrence
ai= (1−2(√e−e))2i+ (3(√3e−e)−2)3i
2
