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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Praet, G. (1976). Espaces homogènes pseudo-riemanniens, réductifs et non-réductifs (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Faculté des Sciences
ESPACES HOMOGENES
PSEUDO-RËMANNIENS, REDUCTI ET NON-REDUCTIFS
Thèse présentée en vue de 1'obtention du gradé de Docteur en Sciences
( Grade légal )
G&org PRAET
Année académique 1975 • >976
et'de PHYSIQUE
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Faculté des Sciences
ESPACES HOMOGENES
PSEUDO-RIEMANNIENS, REDUCTIFS ET NON-REDUCTIFS
P SS3 f
Thèse présentée en vue de l'obtention du gradé de Docteur en Sciences
( Grade légal ) I-
Georg PRAET
Année académique 1975- 1976
pour l’intérêt constant qu’il a porté à ce travail et pour l’aide qu’il n’a cessé de m’apporter.
Ma profonde reconnaissance va au Fonds National de la Recherche Fondamentale Collective oour l’aide maté
rielle qu’il m’a apportée pendant plusieurs années.
Mes remerciements vont également à
Mademoiselle Parker pour son aide sur les questions concer
nant les espaces symétriques.
INTRODUCTION
Les espaces symétriques ont été largement étudiés depuis leur intro
duction par E. CARTAN .Leur détermination dans le cas riemannien a été faite par Cartan lui-même.
Plusieurs résultats ont été obtenus pour les espaces symétriques pseudo- riemanniens' ils ont été déterminés par M. BERGER lorsque le groune d'holonomie est comnlètement réductible ; dans le cas général M. PARKER a démontré un théorème de structure. Le tenseur de courbure des espaces symétriques pseudo—riemanniens est oarallèle R = O) . Réciproquement une variété pseudo-riemannienne ( M, g) connexe .simplement connexe, complète dont le tenseur de courbure est parallèle est isométrique h un espace symétrique.
Une classe de variétés naturelle à étudier et généralisant les espaces symétriques pseudo-riemanniens sont les espaces homogènes pseudo—
riemanniens. Un espace pseudo-riemannien ( M, g) est homogène si le groupe d'isométrie I(M) opère transitivement sur M , Si K est le sous- groupe de I(M) fixant un point , I(M) / K est difféomorphe à M . Si G est un sous-groupe de I(m) opérant transitivement sur M et si H = K/)0 ^ M est également difféomorphe à l'espace quotient G / H . Un espace homogène peut donc être difféomorphe à plusieurs espaces quotients t nous app'lleronB présentation de M un espace quotient G / H difféomorphe à M ,
AMffilOSE et SINGER ont posé le problème de caractériser les espaces homogènes riemanniens par leur tenseur de courbure; la caractérisation devrait être une généralisation de la condition V® » 0 pour les espaces symétriques. Ils ont montré que si sur une variété riemannienne (M , g) connexe, simplement connexe, complète il existe vin champ de tenseurs T de type (g) vérifiant les équations
(V^R)(x,y) = [ T^, R(x,y) ] - H(T^x, y) - R(x, î^y) ,
('C7^T)^ = IT^, T V^ " ° variété M est un espace homogène* Réoiproquement sur tout espace homogène
rlemannlen il existe un champ de tenseurjt T vérifiant les équations oi- desBUSo Si T = 0 on retrouve les espaces symétriques riemanniens.
On peut se poser le problème de la généralisation de ce théorème avix espaces pseudo-riemanniens. Deux remarques s'imposent t d'xine part existe-t—il toujours sur les espaces homogènes pseudo-riemanniens un tenseur T vérifiant les équations d'AMBROSE et SINGER, d'autre part les hypothèses faites sur (M, g ) dans le théorème d'AMBROSE et SINGER sont elles suffisantes dans le cas pseudo-riemannien ? La démonstration proposées par AMBROSE et SINGER n'est pas généralisable a\ix variétés pseudo-rieraanniennes. Si l'on introduit une nouvelle connexion A= T les équations d'AMBROSE et SINGER affirment simplement oue T , R et g sont parallèles pour cette connexion. On montre d'autre part oue cette connexion est invariante par parallélisme (tlR = 0 et /^Tr- «=0 où R et Tl- sont respectivement la courbure et la torsion de A ), Les connexions invariantes par parallélisme ont été introduites par NOMIZU à l'occasion de l'étude des connexions invariantes sur un espace homogène.
Il démontre eue ces connexions n'existent que sur les espaces homogènes réduotifs et réciproquement que sur les espaces homogènms réductifs il existe de telles connexions. Un espace homogène G/H est réductif si dans (l'algèbre de Lie de G) il existe un sous—vectoriel ra sup
plémentaire à ^ (l'algèbre de Lie de H) invariant par l'action adjointe de H sur *
KOSTANT démontre que si sur une variété à connexion affine (M, V ^ connexe et simplement connexe il existe \ine connexion A complète pour laquelle la courbure et la torsion de V et le tenseur T = V - A
sont parallèles alors cotte variété est un espace homogène réductif ; et réciproquement si g/H V est \in espace homogène réductif il existe sur G/H une connexion A invariante par parallélisme pour laquelle T ,1a
oovirbure et la torsion de ^sont parallèles»
Dans le premier chapitre nous démontrons le théorème de KOSTANT où l'hypothèse de oomplétion de M pour ^ est remplacée par celle de M po\ir ^ . La démonstration que nous donnons de ce théorème peut s'appli
quer sans beaucoup de modifications à la démonstration du théorème de KOSTANT.
Nous indiquons également comment on peut construire l'algèbre de Lie
du groupe d'affinités en termes du tenseur T et des tenseurs de courbure et de torsion de » Ce théorème ne résout pas complètement le problème posé par AMBROSE et SINGER dans le cas des variétés pseudo-riemanniennes , les espaces homogènes pseudo-riemanniens n'étant pas tous réductifs
oomr’e le sont les espaces homogènes riemanniens. Cette remarque est à l'origine du chapitre III.
AMBROSE et SINGER suggéraient également dans leur article d'une part la possibilité de classer les espaces homogènes par les propriétés du tenseur T, d'autre part oue l'étude du tenseur T pouvait conduire à l'étude des groupes G pour lesquels M est un espace homogène,
AMBROSE et SINGER n'avaient pas remarqué que le tenseur T même pour une présentation G/H donnée de M n'est pas unique, sans compter qu'un espace homogène M peut être difféomorphe à plusieurs espaces quctients G/H. Cette remaroue nous a conduit à imposer a priori des conditions sur le tenseur T. La condition la plus simule après T = 0 est ^T = o< ® T o<,eT^ (M),
Dans le chapitre II noue déterminons les espaces homogènes pseudo- riemanniens réductifs g/H à groupe d'holonomie irréductible et à groupe d'isotropie linéaire complètement réductible pour lesquels T vérifie l'équation VT = <^ ® T . Les hypothèses faites sur le grouue d'holono
mie imposent cA = 0.
L'algèbre de Lie de G est déterminée par un vectoriel X muni de deux lois, l'une munit X d'une structure d'algèbre de Lie simple, l'autre est un triple uroduit de Lie. Ces deux lois sont soumises à des
relations de compatibilité. L'irréductibilité de 1'holonomie impose la simplicité de ~C mais il ne serait pas sans intérêt d'étudier ce type d'objet en omettant l'hypothèse de simplicité. On obtiendrait ainsi une classe plus large d'espaces homogènes réductifs à tenseur T parallèle.
Quoique la détermination de toutes les algèbres de ce type ne soit pas actuellement accessible,des théorèmes de structure ne sont pas hors de portée dans la mesure où ils existent pour les algèbre de Lie et les al- gàbres de Lie involutives associées aux espaces symétriques pseudo-rieman- niens.
Les espaces homogènes pseudo-riemanniens non-réductifs n'entrent
pas dans le cadre du théorème de KOSTANT, Nous déterminons dans le chapitre III les espaces homogènes pseudo-riemanniens non-réductifs (g/H, g) de dimension 3 et 4. SCHMIDT B. a déterminé les espaces homogènes pseudo- riemanniens de dimension 4 de signature (l, 3) mais a omis ceux qui sont non-réductifs. L'algèbre de Lie groupe d'isotropie linéaire est le point de départ de- la construction de qui est déterminé en résol
vant les identités de Jaoobi. (Jj déterminé, on teste la non-réduotivité Les résultats sont les suivants: Lorsoue la dimension de g/H est trois G/H est réductif.lorsau'elle est Quatre nous obtenons dos espaces non- réductifs, Ceux-ci sont d'tin certain point de vue remarouables. Si le groupe d'isotropie est de dimension trois, oue ce soit en sicnature (l, 3) ou (2, 2), G/H est à courbure constante et G est difféomorphe au revê
tement universel soit d'tm sous-groupe G' de S0(2, 3, iR ) (en signa- ture (1, 3) et (2, 2) soit d'un sous-groupe G de S0(2, 2 ^ iR ).
en signature (2, 2)), G' (resp. g" ) est le sous-groupe de SOC?, 3, fR ) (resp, S0(2, 2, ), IR ) l aissant invariant un 2-plan tntalement isotrope de (rea’^. ). Lorsque la dimension du groupe d'isotropie est inférieure ou égaJr- ' (ienr il existe sur G/H plusieurs métri-^ues inva
riantes 5 nous montrons que parmi celles-ci il en existe vinp. est le produit de métrioues à courbure constante. Nous montrons enfin que tout
espace homogène pseudo-riemannien non-réduotif de dimension quatre est
isométrique, modulo un choix convenable de métrioue. au revêtement univer
sel d'un ouvert de l'un des especes symétriques S0(2, 3» )/ S0(2, 2, iR ) S0(2, 3, /R )/ S0(1, 3, If? ), IR^'^ , , ((SL(2, (R )xSL(2, iR )x .
Les espaces homogènes non-réductifs de dimension quatre donnent des contre-exemples a\ix conjectures suivantes t toute présentation d'un esnaoe homogène admettant une nrésentation non-réductive est non-réductive; tout espace homogène non-réductif est incomplet.
Dans le chapitre IV nous étudions d'une manière plus nr^cise les es
paces homogènes non-réductifs de dimension quatre construits sur les groupes de Lie G' et G .Nous en déduisons deux mani'^res de construire des
espaces homogènes non—réductifs de toute dimension localement isométrirues à uin espace symétrioue pseudo-riemannien.
Premièrement nous c nsid'r ns le sf^us-^rrouTie G1 , (resp, G^ ,)
2p+l 2p+i
de SO(p ,th-1),(R) (resp. S0( p,p, iRKiR^^ ) laissent invariant un p-pla.n totalement isotrope de IR ^ (resp. IR^'^ ). Nous montrons que G'
2p+l opère localement transitivement sur les variétés
M ^ * ...4*1 2 """
sont isométrinues au» espaces symétriques SO(p ,p+l, P)/ SO(p—l,p+l, (R) et S0( P .p+1 , (R)/SO(p .p , (R) .Les espaces homogènes
G' ,/ Gi -OSO(p ,p, R) et GI ./ G' nSo(p-l,p+l, R) sontnon-réductifs
2p+l' 2p+l 2p+1 2p+l
et localement isom-trinues à M . G" , opère localement transitivement sur
R^’^ et l'espace homogène !■ c-lement plat
et non-réductif.
Deuxièmement nous remarquons que G' opère transitivement sur les espaces s^/métriques S0(2, 3,P)/S0(2,2,R) et S0(2, 3,iR)/SO(l, ^,R) , dont le groupe d'isométrie est simple. Noue montrons que (j la complexifiée 'C de ' (l'algèbre de Lie de G') est dans so(5, C) le normalisateur du sous—espace poids correspondant à une racine maximale relativement à une base fondamentale d'une sous-algèbre de Cartan, Nous déterminons pour les
c c
Fil^èbres de Lie simples complexes ^ le normalisateur W du sous—
espace poids correspodant à une racine maximale. Notre but est de déterminer des espaces symétriques à ^CTOupe d'isométrie simple sur lesquels le groupe
Q
de Lie réel W ,dont l'algèbre de Lie est une forme réelle de W ,opère localement transitivement et tels que l'orbite soit isométrique à un
Q espace quotient non-réductif. Nous ét blissons sur l'involution çj- de définissant l'espace symétrinue ,des c nditions nécessaires et suffisantes de transitivité locale nour iW et des conditions suffisantes de non-réductivité.
Nous a-npliouons ces conditions aiix algèbres de Lie simules complexes clrssiaues.Seules les alvèbres de Lie de tyoo B et C urijvent
P P
satisfaire aux conditions . Nous déterminons ensuite les semi—^-orphismes
C c
involutifs de ^ nour lesouels W est stable afin d'obtenir les formes réelles de . Nous obtenons ainsi des pr-^-senta tions non—réductives W/H d'ouverts des esunces symétrinuer- suivants t
S0( 1+i , 2p+l-i , {R)/Sü(i , 2p+l-i , K) i-1, S0( 1+i , 2p+l—i , |R)/S0( 1+i ,2p-i , IR) i-1, ...
p.
PCO R)/(Sp( i, IR^ X Sp( n-i , (R ) i=l,..,
2
Nous terminons ce chapitre en détermin-nt une nT-.'sent- tion locale non-réductive des esnsces symétrinuer (SL( n , U?) x SL( n, (R'))/SL (n, (R) x (P.
En annexe nous déterminons les sous-algèbres de 1lïTobre de Lie so( 2 9 2, IR)
INTRODUCTIGN
CHAPITRE I : THEÜREI^E D’ARBROSE ET SINGER
51. Groupe de transformation de Lie 1
52. Espaces homogènes de groupe de Lie 2 53. Espaces homogènes de groupe de Lie réductifs 3 54. Espaces homogènes affins et pseudo-riemanniens 4
55. Théorème d’Ambrose et Singer affin 6
CHAPITRE II : ESPACES HQMGGENES PSEUDG-RIENANNIENS ADHETTANT UNE PRESENTATION REDUCTIVE G/H A TENSEUR T RECURRENT
51. Espaces symétriques 16
52. Remarques sur les espaces homogènes pseudo-riemanniens IG 53. Espaces homogènes pseudo-riemanniens admettant une
présentation réductive pour laquelle VT=a ®T 2G 54. Structure rie l’algèbre de Lie de G 27 55. Propriétés du groupe d’isotropie linéaire 30 56. Détermination de
^
lorsque l’isotropie n’est pas abélienne 36 57. Détermination de >4 lorsque l’isotropie est abélienne 3S 58. Démonstration du théorème 3.1 [Fin'J 53 CHAPITRE III : ESPACES HONOGENES PSEUDG-RIENANNIENS NDN-REDUCTIFS DEDIMENSION TROIS ET OUATRE
51. Principe de construction des espaces homogènes pseudo-
riemanniens non-réductifs de dimension trois et quatre 58 52. Espaces homogènes de groupe de Lie de dim.ension trois
non-réductifs 60
53. Espaces homogènes de groupe de Lie non-réductifs de
dimension quatre et de signature [1,3J 62 54. Espaces homogènes de groupe de Lie non-réductifs de
dimension quatre et de signature [2 2J 06 CHAPITRE IV : ESPACES HOMOGENES NON-REDUCTIFS DE DIMENSION SUPERIEURE
A OUATRE
51. Préliminaires 105
52. Etude des espaces homogènes non-réductifs
^3- "2’
^3
^2' ^2^^3^Z3 + Z°)/H(Z^, Z°. Z3^Z°J et
nP[Z^-Z^]/
H[Z,-Z_] 108 U A
53. Première généralisation ^ 109
54. Deuxième généralisation de G
H(Z^. Z^ + zJ) et de G^^(Z^, Z°, Z^ + Z° )/H ( Z^ . Z°.
Z3+Z3] 118 55. Généralisation de l’espace homogène non-réductif
ANNEXE
CHAPITRE I
THEOREME O’AMBROSE ET SINGER AFFIN
51. GROUPE DE TRANSFORNATION DE LIE
Soit M une variété de classe C . paracompacte, connexe de dimension n.
Nous supposerons, sauf spécifications contraires, que les applications entre
00
variétés ainsi que les objets attachés à ces variétés sont de classe C . Soit G un groupe de Lie.
I.J. Définition. G est un groupe de transformation de Lie de N s’il existe une application
T : GxN-^N : tg,p) -^T(g).p
telle que i) Si e est le neutre de G on ait V p 6 N iCeî.p = p ii) V g^, g^ 6 G, x(g^) = Ttg^g^]
Pour tout vecteur X E (le vectoriel tangent à G en e) on note X le champ de vecteur invariant à gauche sur G déterminé par X,
On a X(g) = L X
g a
OU G ^ G : g’ ->• gg ’ est la translation à gauche et
xe
est la différentielle de L à l'identité.
Ê
1.2. Définition. L’espace tangent T^(G] muni du produit [XY] = I ^ est 1‘algèbre de Lie de G qui sera notée ül.
1.3. Définition. X E engendre un groupe à un paramètre de transformations de G. L'application exponentielle Exp : G est définie par
Exp X =
Tout X E induit sur N un groupe à un paramètre de trei^~,formations de la manière suivante
(p) = T (Exp - t X3. p
On note par X le champ de vecteur correspondant sur M.
i(Exp - t X).p t = 0
1.4. Définition. Un champ de vecteur X sur M est complet si le groupe local à un paramètre c})^ engendré par X est défini pour tout t ë R.
1.5. Définitions. Soit G un groupe de transformation de Lie de n
i) G opère effectivement sur M si {g 6 G | xCgl.p = p V p G H} est réduit au neutre de G
ii) G opère transitivement sur n si V p, p’ G fl il existe g 6 G tel que T(g) .p = p’
Une variété sur laquelle opère transitivement et effectivement un groupe de transformation de Lie est appelée espace homogène.
1.6. Définition. Le groupe d’isotropie H au point p est le sous-groupe de G qui fixe le point p :
= {g 6 G I T(g).p = p)
1.7. Propriétés.
i) H est un sous-groupe fermé de G et donc un sous-groupe de Lie ii) Si M est un espace homogène alors V.p, p* G M, H est conjugué à H
P q
dans G.
J2, ESPACES HOMOGENES DE GROUPE DE LIE
2.1. Proposition. Soit G un groupe de Lie, H un sous-groupe fermé de G.
G/H = {g H I g G G} l’espace des classes latérales à gauche avec la topologie naturelle; alors G/H admet une structure de variété analytique unique telle que G soit un groupe de transformation de Lie de G/H avec l’action naturelle à gau
che de G sur les classes latérales. [3]
Nous appellerons espace homogène de groupe de Lie un espace quotient G/H.
2.2, Proposition. Soient G un groupe de transformation de Lie de M, transitif et effectif, H le groupe d’isotropie en un point p GM;
O
l’application G/H M : g H T(g).p^ est un difféomorphisme
2. Z. Définition, L’espace homogène de groupe de Lie G/H sera appelé une pré
sentation de l’espace homogène M, si G est un groupe de transformation de Lie, transitif et effectif de M et H le groupe d’isotropie en un point p de M.
2.4, Propriétés.
i) G opère effectivement sur G/H ssi H ne contient pas de sous-groupe nor
mal propre de Go
ii) La présentation d’un espace homogène M par un espace homogène de groupe de Lie n’est pas unique.
2. S. Théorème de Palais [il]
Soit une algèbre de Lie fini-dimensionnelle de champs^ vecteurs sur n en
gendré par des champs de vecteurs complets; soit G le sous-groupe du groupe des difféomorphismes de M engendré par les sous-groupes à un paramètre déterminés par les champs de vecteurs complets de
de groupe de Lie sur G telle que
i) l'action naturelle de G sur M fait de G un groupe de transformation de Lie de M
il] l’algèbre de Lie de G est isomorphe à par l’application X ->
alors il existe une structure unique
f3o ESPACES HOMOGENES OE GROUPE DE LIE REDUCTIFS,
Z.l, Définition. G/H est réductif si dans fiant :
il existe un sous-vectoriel m véri-
1) ^ - ^ © m 2) Ad h.m C m
m = {0} ( algèbre de Lie de H)
V h 6 H où Ad est la représentation adjointe de G sur Si H est connexe la condition 2) est équivalente à
2’) ad^ .m C m où ad est la représentation adjointe de
Z.2. Proposition. L’espace quotient G/H est réductif dans les cas suivants : est réductive dans (c’est-à-dire ad ^ est complètement réductible]; c’est le cas si H est connexe et semi-simple.
ii] H compact ou Ad H compact
iii) H est l’ensemble des points fixes d’un automorphisme involutif de G, (Espaces symétriques]
i] H est connexe et la sous-algèbre
Z.Zo Théorème. G/H est réductif ssi il existe sur le fibré principal G(G/H, H]
une connexion affine invariante par G [ 9]
2.4c Proposition. Les connexions affines invariantes sur G(G/H, H) sont en cor
respondance biunivoque avec les sous-vectoriels m de la définition 3.1 [9]
2o5c Proposition. Si 7 est la dérivation covariante correspondant à une connexion affine invariante sur G(G/H, H] alors VT = □ et VR = 0 où R et T sont respec-
r r
tivement la courbure et la torsion de V.
H, ESPACES HOMOGENES AFFINS ET PSEUOO-RIEMANNIENS.
4.1. Définition, Une variété pseudo-riemanienne (M.g) est une variété M munie d’une métrique pseudo-riemanienne g c’est-à-dire d’un tenseur deux fois covariant symétrique de signature arbitraire.
Nous appellerons connexion de Lévi-Civita la connexion affine canoniquement asso
ciée à g.
Soit (M.V) une variété à connexion affine. Oans ce qui suit V pourra être la con
nexion de Lévi-Civita d’une métrique pseudo-riemanienne g.
4.2. Définition. Soit (M,V] une variété à connexion affines l'application expo
nentielle du point P est l’application exp ; T CM) ->■ M
P P
définie de la manière suivante : si Yy : IR -► M est la géodésique issue de p et tangente à X 6 T^CM) alors
exp ex) = Y„C1) lorsque y»/C1î est défini.
P X X
4.2. Définition. IM,V) est complète si pour tout p 6 M exp est définie sur T (M).
P P
4.4. Définition. (M.V) (respe. (M.g)) est un espace homogène affin (resp. pseudo- riemannien) s’il existe un groupe de transformation de Lie de M. transitif tel que
*p ^ P X ’^p
p
(1)
Crespe. ^tcgl.p ‘'‘s’, x- "‘si, V) . gp (X,Y) (2) )
pour tout champ de vecteur X et Y sur M.
4. S. Théorème. Si (M.V) est simplement connexe, connexe, complète, si VR = G et VT^ = 0 alors (M.V) est un espace homogène affin.
Définition, Un champ de vecteur X sur (M,V] (resp. est une affinité (resp^ isométrie) infinitésimale si le groupe local à un paramètre de trans
formations de n engendré par X vérifie (1) (resp= (2)).
4.?. Remarques,
i) Si (M.g) est une variété riemafinlenne (c’est-à-dire g définie positive) homogène alors toute isométrie infinitésimale est complète.
ii) Comme le montre l’exemple suivanttoute isométrie d’un espace homogène pseudo-riemannien n’est pas complète.
Soit M - {(X,Y) 6 IR^ I X > 0} muni de la métrique g = dX ® dy ♦ dY ® dX Le groupe de transformation C(t,a)(x,y)) -► t( (t,a) ). (x,y ) = (e x, e y a)
g
opère transitivement sur M. L’isométrie infinitésimale n’est pas complète.
oX
4o8o Proposition, Si' [(1,V) est complète alors toute isométrie infinitésimale X de M est complète.
Il résulte de la remarque 4.7 ii) et de la proposition 4.8 que les espaces homo
gènes pseudo-riemanniens ne sont pas tous complets.
Nous noterons ACM) (resp. ICM)) l’ensemble des affinités (resp, isométries) infi
nitésimales de (M.V) (resp, (M,g)]
4,9o Définition, L’évaluation au point p d’une affinité (resp. isométrie) tésimale est l’application v : ACM) ■* T (M) @ T (M) ® t’^(M) : X -*■ (X
P P P P P
où A^ est l’endomorphisme de T (M) définit par la valeur du point p de
P ^
A^ V = L^ V - V V, X - T (X.V)
V r
(resp, U : KM) ^ T (M) © T (M) ® T CM) : X (X . A^ )
P p p p ^ ^p
où A V
X X = L^ V - Vx V)
Infini- A.. )
P
4.10, Proposition, Si X et Y sont deux affinités (resp. isométries) infinitésima
les alors
V (I XY] ) = (^„Y - * TrCXY). [ - R(XY))
p X Y X Y
(resp. V C[XY1) = (A^Y - A^X . [ A^ aJ - R(XY)))
p X Y A Y
4.11, Proposition, est injective.
Démonstration. Soient X une affinité (resp. isométrie) infinitésimale, y : IR M un chemin issu de p. Le long de X est solution du système d’équations
i}V. X = -À y~T[Xÿ) (resp, , X - - ÿ)
Y X r ! X
ii) V„ = R(X, Ÿî (resp. V. = R(X Ÿ^) [y est 1g champ de vecteur
Y X Y X
tangent à y)
avec les conditions initiales (X, A„) % = v (X) (resp. p (X) = (X,A„) )
X P P P ^ X P
Il résulte des équations 4.11 i] et ii] qu'une affinité (resp. isométrie] infi
nitésimale X est déterminée dans un voisinage du point p par son évaluation en'f ce point.
4.12c Définition, (X, A] appartenant à l’image de (resp. p^] est appelé géné
rateur d'une affinité (resp. isométrie] infinitésimale.
J5, THEOREHE D’AMBRQSE ET SINGER AFFIN,
5.J. Notations. Soit A un endomorphisme de 1^(14], A s’étend naturellement en une dérivation de l’algèbre tensorielle
S
(N],Si T E nous noterons A. T l'image de T par A.
Exempte : Si est la torsion d’une connexion affine on a (A.T ](XY] = A.(T (X.Y]] - T (AX, Y] - T (X. A Y]
r r r r
ou en considérant T (X,.] = T comme un endomorphisme de T (N]
Tx P
(A.T ](X] = [A. Tr^] - Tr„^
r A Ma
où [A, Tr ] = A.Tr - Tr A est le crochet de Lie des endomorphismes.
A AA
On a de même si R est le tenseur de courbure d'une connexion affine (A.R](XY] = lA. R(XY]] - R(AX. Y] - R(X, AY] .
5c2c Théorème. Soit (MV) (resp. (N,g]] une variété à connexion affine (resp. une variété pseudo-riemannienne], complète, connexe et simplement connexe.
Soit un champ de tenseur T E T*(n] ® T*(N] ® T(N]
Si - T^]R = G /resp, (V
(Vv ” ■''vî''’ = G (I] / (7
X X r
f"x -
T^]T =0V
X
^X^ (I]
Alors (M,V] (resp. (H,g]] est un espace homogène affin (resp. pseudo-rlemannlen]
admettant une présentation réductive G/H.
5 O 3. Remarques.
1) Qn a noté T l'endomorphisme T : Y -► Ti ,
A X
2) V - T est une dérivation covariante que l'on note
A A X
3) Le théorème (5.2) a été démontré par Ambrose et Singer dans le cas où (M,g) est une variété riemannienne [ l]
4) Kostant a démontré le théorème 5.2 où la complétion de ri pour V a été remplacée par celle de M pour A [ fl]
Nous noterons par R et ? la courbure et,la torsion de
i.4. Lem,e. SkxV) - R(X, V) - [T^, T^l . T , -
X T r*
T(X.Y) = - T^Y ♦ T^X ♦ T (XY) X Y r
Démonstration. Par définition ?(X,Y) = A Y - A X - [ XY]
X Y
- VxY - V^X - T^Y ^ T^X - [XY]
= T^(X,Y) T^X - T^Y Par définition
R(X.Y) == [A^, A^l - Aj^y]
' ^^X ' ^X ' '^Y " ^Y^ ' ’^[XY] * ^[XY]
■ '"x • V ■ 'x"y> • \"x> • \‘'x> - ’x'Ty’ *
L\-
-’( xy)'''l xy]- R(x.y. - T^(V^) - (V), • ‘ ^''y’
‘ \"x> - 'Y'y - V - ^'^x’
[Tx, T^l • T[x,y|
- R(X.y) ♦ - (TJl, - . [T^ T^l r
■ R(X,yl . IT^, T^l - T - IT^. V . T - . (T^, T^l
Y X
• - f'x- V - Yx.y,
5,5. Lerme. ^ et ? sont A-parallèles c'est-à-dire AR = AT - 0
Démonstration. (A ?)(Y,Z) = - (A„ T) Z + (A^ T)_ Y + (A^ T )(Y,Z)
X X Y X Z X r
= ü
(A^ = (A^ R](Y,Z] - [ (A^ T^] - [Ty.(A^ T)^]
(Ax T)^^y,Z) ■ ^(Ax t](Y.Z)
= 0
5,6. Lerme. Pour tout points p et p' de (M,V) (resp. il existe une V-affinité resp. une isométrie] d'un voisinage U de p sur un voisinage U
P I
de p ’
Démonstration. Soient
V : I -► ri; U -► Y^u] un chemin de p à p’ (c-a-d. y(0) = p et yïD = P’î X^, i = 1, n un repère (resp. un repère "orthonormé"] de T^Ul]
X^(u], i = 1, .... n le repère de ^y(u]^^^ obtenu par transport A-parallèle de X^, i = 1, .... n ]e long de y de p à y^u]
Np un voisinage A-normal du point p Np, un voisinage A-normal du point p’
V l'ensemble des points (t, a,, a_, .... a ] E IR x IR^
12 n
tel que exp^ (t(a,X, + ... + a X ]] EN
pli n n p
V l'ensemble des points (t, a,, a^, .... a ] E IR x IR*^
12 n
tel que exp^, (t(a,X’’(l] + ... + a X"(l]] E N ,
p' 11 n n p'
U = exp^ (V n V]
P P ^
U , = exp^, (VO V]
P p’
Remarque ; Si M est pseudo-riemannienne alors XMu] est "orthonormé"
En effet A. (g(X"(u], X'Mu]] = (A. g](X7(u]. X';Cu]]
y i J Y i J
+ g(A. X"(u], X"(u]] + g(X"(u]. A. X*;(u]]
Yi J i
yJ
= ü
Qn note y*^ le transport A-parallèle le long de y de p à p' P
On définit <j> : U -*■ U , : x -► exp^, o y*^ o exp^ ^(x]
PP p’ P P
a] (|) est une A-affinité.
Pour tout V E U on définit Cv] i = 1, .... n comme étant le repère de T (M]
pi V
obtenu par transport A-parallèle de p à v le long de la géodésique radiale de p à V,
Sùit g’ îv) i = 1, , . n le repère dual de X^(v) 1 = 1, . „ ., n et les formes de connexion dans le a^repê.'V o* ,
Saisnr; k* i 1, > . n les coordonnées normales géodésiques déterminées par le repère i = 1, n .
Dans ces coordonnées ces formes s’écrivent
= Z dx-^
j = l J
i V oi ^ ü), = Z B., dx
J k=l
Soit V E U de coordonnées normales (v, , .,,, v 1
P 1 n
On pose A^Ct] = t A^(t v] , (t) = t [t vl
J
j JK JK. Tj\(t V) . • Rj\,(t V)
Les équations de structure le long de la géodésique radiale t a- t v s'écrivent
d A^ (t) =
____l J
dt
“i £ ‘i ‘m £ B„, V ♦ T„ A, V
<lj £m j d B
iü = pi
dt jk£ k
■*m £ A. V
avec les conditions initiales A! (0) = 0 8^(01 Jk = 0
Comme ces équations sont linéaires leur solution est unique et définie sur U P On définit de même sur U , : A’^ , B’^, , T‘^, et R'^, . »
P _j jk Jk jk£
Comme R et T sont A-parallèle R"^.„ = rJ. . et T’^ = . J K£ J k£ J K J k
A’^ et B'^. vérifient donc le même système d'équations différentielles avec les
J jk
mêmes conditions initiales. Donc si q E U et q' E U , ont les mêmes coordonnées
P P
normales )'apolication (p ; q •+ q’ est une transformation A-affine de sur U j.
b) 4> est uns V-affinité [resp. une isométrie)
Il faut montrer que pour tout champ de vecteur X Y sur U P Y) = V <p^Y (resp. X. <>^Y) = g(X,Y) c’est-à-dire
^ “ % X ^ X
X X
Comme 4> est une A-affinité (}> (A„Y) = A, ^ il suffit donc de montrer que
XX d) X X
4» T = T
X
La différentielle (|)^ de <l> au point p est P
. A P’ A-1
<p = exp , O Y O exp
X p’ P P
P ^ xo ^xo
(on a identifié T (Ml à T (T (M))]
P O p
Pour tout X E U , soit X la géodésique radiale de p à x.
Comme la différentielle de toute affinité commute avec le transport parallèle on a :
J. fT 1 O. (T ) = 4> O X (T ) = X^f -, O T = X , T , = \Xr-r 1 X T ,*^(xl _ , XX X XX PP <l>(p) XP P P P
♦xx Sx = ♦xx V Sp ■ %tp) *.p Sp ■ V' Sp' ■ S*(x) >
6,7. Lerme. (X, - T,1 et (0, ^(XY]1 sont des générateurs de V-affinités infini-
X p
tésimales (resp. isométries infinitésimales) Démonstration.
1) Soit Y une A-géodésique tangente à X(p)« On définit A r 1 ^ Y(t) A-1 , .
<p. ix) = exp O Y O exp (x)
t Y(t) p ^p
En vertu du lemme 5.6. (j)^ est une 7-affinité (resp. une isométrie) pour tout t.
est un groupe local à un paramètre de transformations locales : en effet com
me une affinité est déterminée par sa valeur et sa différentielle en un point il suffit de montrer que pour le point p et pour tout t, s 6 IR tels que y soit
O (f>
définie pour s, t et t+s (p. (p) = ij)^ o (|) (p) et = <J>.
^ t+s t s t+s X p t' U
^^(p) X p i) la géodésique y est conservée par ij)^, en effet
p % A . Y(u) = exp U Y
' p O
«{•.(yCu)) = <t>. (exp^ U Ÿ ) = exp^. - (u Y(t)) = Y(u + t)
t t p O Y(t)
• • 1 X Y A
11) on a : (|)^ = y i <Pr,. ^ ~ Y
^txp p ^(t+s) 'p Yl Y(t+s)
(()) O <)> ) p, = <(>x * t sxp txçlsj sxpAf.s1 ° * r,
, . Y(s+t) y(s)
i>x r 1 ° t * y(s) sxp - y / 1 y(s) ° y’p
Y(s+t)
t + s X p
Soit X le champ de vecteurs tangent à on détermine le générateur au point p de X considéré comme V-affintté (resp, isométrie) infinitésimale.
a) Cdt p) ] t = o
d
dt (|i (exp 0)
t=o dt (exp
Y(t) 0] ŸIO) X P b) V = I XVI - V
(V^ V) = (V.. V)
X p P
[ X,V] = lim T f 1 - 'Z î
P t-o t X p p
lim -- (V ... - V ) = (A. V)
t-o ^ PP ^o P
d'où (A„ V) - A. V - V, V = “ T. V == - (T„
X p Y^ Y^ X
2) On définit <î>. fx) - exp^ o EXP (- t ^(XY))
t p
où EXP est l'exponentielle dans le groupe V)p
A-1, , O exp Cx)
P
linéaire général
est un groupe local à un paramètre de V-affinités (resp, d’isométries) laça les. La propriété groupale étant immédiate il suffit de montrer que (})^ sont des V-affinités (resp. des isométries).
Rernarquons que EXP-^t R(XY) appartient au groupe d'holonomie de la connexion A;O»
p ^
il existe donc un chemin y de p à p tel que y “ EXP (-t R(xy)); (}) est une V-
P t
affinité (resp. une isométrie) (lemme 5.6)
Soit X le champ de vecteurs- tangent à on détermine générateur au point p de X considéré comme V-affinité (resp. isométrie) infinitésimale
i) X(p) “Idt't=o <^t(p) 0
ii) (A^ V) = [xvl
X p p V)
p
î X V]
D lim J
t-*-o Cp) (<(>,) t X V )
P
= lim t-^o
_l
t - EXP f t ft(X,Y))V ) P lim -i (I - EXP (-t ^(X.Y) )V
t-o ^ P
= R(X.Y)V P
r\j
bo8o Lernne. Lgs génératsurs (X, -T^J et (0, R(X,YJ) , où X et Y parcourent T [M),
X P P P
forment une algèbre de Lie.
Démonstration. En vertu de 4.10 et de 5.4 on a
i] I ex. -T^),(Y. -Ty)] = (TyX - T^Y + Tr(XY], ( TyI - R(X.Y))
= (T(X.Y], - R(X,Y) - nnx.Y]]
= [T(X.Y). - T(T(Xr/n) - {□. R(X.Y))
iil [(X. - T ). (□, R(Y,Z]]] = (- R(Y.Z]X, - [T RCY.Z]]
A X
Comme T est parallèle on a R(YZ).T = □ ce qui peut encore s'écrire % (Stv.zm, . 1^1V.Z)T^1 - . □
d'où
[(X, -Ty).(0. RCY.Z))] = (- RCY.Z)X. + T^(yZ)X ^
iii) 1(0, ^CXY)). (0, ^CA.B))] = CD. [ftcx.Y). RCA.B)]) Comme R est parallèle on a
CRCXY)^)CAB) = Ü = (RCX.Y). RCA.B)] - RCRCX.Y)A. B) - RCA. ^CX.Y)B) d"où
ICü.^CXY)). CD. ^CA.B))] = CO. RC^CXY)A. B)) + CO. ?fCA. RCX.Y)B)) . Nous.noterons gCp) l'algèbre de Lie engendrée au point p par CX. -T^) et
CO. RCX.Y)).
5.5. Lerme. Pour tout p. q E M gCp) est isomorphe à gCq).
Démonstration. Le transport parallèle de p à q le long d’un chemin y définit un isomorphisme de gCp) sur gCq)
5.10. Derme. Si X est une V-affinité Cresp. isométrie) infinitésimale définie dans un voisinage U de p par un générateur de gCp) alors
V p’ e U V ,CX) = CXp'. A ) 6 gCp’) V P
y P P ^ P
Coù V est l'évaluation au point p de X considéré comme V-affinité) P
Démonstration. On a A V = - V x - T CX.V) Cresp. A V = - V x si X est une
X V r XV
isométrie)
Si on considère X comme une V-affinité Cresp. isométrie) infinitésimale A^ V = - X - tex.V)
Si on considère X comme une A-affinité infinitésimale
'V/Ax V = Aw X - T, ,X + V - T (XV)
V V X r
= - '^w X + T„ X - T., X + V - T (XV)
V V V X r
= - X ♦ V - T (XV) = V ♦ V
v X r XX
Soit Y : I -*• M ; t -»■ y(t) un chemin allant de p à p’
Le long de y (X, A^) ... et (X, - T^) ne diffèrent que par (0, À„)
^ Xy(t) XyCt) ^Xy(t)
Pour démontrer le lemme il suffit de montrer que pour tout t 6 I (A ) . est de /X YitJ
la forme R(UV) où U, V E T ,,,(n)
Y(t) Y(t)
Soit Z^(t) Soit 0^(t)
i = 1, .... n un champ de repère parallèle le long de y i = 1, .... n le repère dual. Le long de y on a
= A^ît) Z,(t) ® 0-^(t) X y(t) j i
Comme X est une A-affinité on a
A» A^^t) Z,(t) ® 0'^(t) = R(X. y) Y X U t J 1.
= . x'' (t) Ÿ^(t) Z, (t) ® 0'^(t)
J 1
avec X*^(t) = 0*''(X(t)) et y*'(t) = 0*'(Ÿ(t) Comme = 0, R^, „ sont des constantes.
jKt
Aj(t) est solution de l’équation différentielle
^ /et,
avec les conditions initiales 1) Aj(0) = Q si X(0) = 0 2) At(0) = » U
'î' jk£ V*" si X(0) i 0 avec U, V Ê IR
nxn K n
Soit W le sous-vectoriel de R engendré par R... u v pour tout u, v ElR .
P J J J
Comme A^(0) E W le chemin I ; t -+■ A^(t) est tangent en tout point à
J P J
W et est donc contenu dans W .
P P
On oeut donc écrire (A..) peut donc écrire (A„) ... = R^
X y(t) y(t) (U(t), V(t)) .
5,11, Lerme. Les V-affinltés (resp. isométries) infinitésimales déterminées par gCp) s'étendent à tout (1.
Démonstration, Soit X une 7-affinité [resp. une isométrie) Infinitésimale déter
minée par un générateur de g(p). X est défini sur un voisinage normal de p (lemme 5.6). Soit p' E Mj soit Y : I -► M ; t -► y(t) un chemin allant de p à p’j soit U , G “ t, < t^ < ... < t = 1 un recouvrement fini de yd) par des
y(t^) 1 2 n
voisinages normaux.
Pour montrer que X est défini en p* il suffit de montrer que X peut s'étendre le long de Y d'un voisinage U . . du suivant.
Y11^ J
Soit t^ e (t^, t^^j) , tel que yCt^) 6 ^
ii i+1
Supposons que X ait pu être étendu à y ^ U r-n y J=1
On sait que v X E g(ylt!)). Il existe sur U , une V-affinité (resp.
Y(t^) ^ ' 1 ^^^i+1^
7 7
une isométrie) infinitésimale Y telle que v Y = v X Y(t^) Y(t^)
sur Y U .r\ U . Y et X vérifient le système d’équations Y(t^) Y(t^^^)
7. ^ = R(X, Y) Y X
(resp. 7. X = - A Ÿ , 7. A = R(X, ÿ))
Y X Y X
avec les mêmes conditions initiales en y,.
ItiJ Par unicité ils coïncident sur U U
Y(t^)' y(t i+1) Y prolonge donc X sur U ■> .
ï(tj.j)
Cette construction est Indépendante du chemin y étant donnée la simple connexité de M.
Démonstration du théorème 5.2,
Si la connexion 7 est complète les 7-affinités (resp. les isométries) infini
tésimales sont complètes (Proposition 4.8), Il existe donc un groupe de Lie G de transformations 7-affines (resp. d'isométries) dont l'algèbre de Lie est isomorphe à g(p) (Théorème de Palais 2.5). Comme l'orbite de tout point est ouverte et que 14 est connexe G opère transitivement sur M.
5,12, Corollaire. ^Théorème de Kostant)
Si (147) est une variété à connexion affine, connexe, simplement connexe s'il existe sur 14 une connexion affine h complète telle que AR = 0 A Tr = 0 AT = ü
avec
Alors (n,V) est un espace homogène affin.
Démonstration. Qn reprend la démonstration du théorème précédent au dernier point.
Comme les V-affinités déterminées par g(p) sont des A-affinités, la complétion de A assure la complétion des A-affinités. Le théorème de Palais achève la démonstra
tion.
5.13. Corollaire, (Théorème 4.5)
Démonstration, Théorème 5.2 avec T = 0
5.14. Théorème. Si (l^,V) (resp. (fl,g)) est un espace homgène affin (resp. pseudo- riemannien) admettant une présentation par un espace homogène de groupe de Lie réductif, alors il existe sur M un tenseur T vérifiant les conditions (I) (resp.
I') du théorème 5.2.
Démonstration. On identifie n à G/H
Soit A une connexion affine invariante sur le fibré G(G/H, H) telle que A^ = 0 A^ = 0 (Théorème 3.5)
□n note =■ - A^
On a V g E G x(g) R = R X
T(g) T = T
^ X r r
Comme le groupe G est à la fols un groupe de V- et de A-affinités V g E G on a T(g)^ (T(XY)) = T(g)^ (V^ Y) - T(g)^ (A^ Y)
“ ''8'. '' - \[g)^ X V c-à-d. T(g)^T . T Le groupe d’holonomie Hol (A) de A ai; point p est contenu dans le groupe d’iso- tropïe -3U point p car A ont une connexion affine G-invariante sur G(G/H, H).
Il en résulte que R, T^ et T sont invariants par Hol(A) et sont par conséquent A- parallèles c’est-à-dire
R » 0 . - T^IR
\ V • ° ■ "x - N ^ ■ "x - ■’x’" ■
CHAPITRE II
ESPACES HOMOGENES PSEUOO-RIEMANNIENS AOMETTANT UNE PRESENTATION REOUCTIVE G/H A TENSEUR T RECURRENT.
ilo ESPACES SYMETRIQUES
J.I. NotationSo Soit £ un automorphisme involutif (différent de l'identité) d'un groupe de Lie Gj on note G l'ensemble des points fixes de £ et G° la composante
lé connexe à l'identité Ue G^.
lo2o Définition, Un espace homogène de groupe de Lie G/H est un espace symétri
que s'il existe un automorphisme involutif £ de G tel que G° C H C G^,
Io3o Définition, Un espace homogène de groupe de Lie pseudo-riemannien (G/H, g) est un espace symétrique pseudo-riemannien si G/H est un espace symétrique.
Nous appellerons également espace symétrique un espace homogène admettant une présentation par un espace homogène de groupe de Lie symétrique.
1,4, Propriétés, Comme £e = e, £ induit un automorphisme involutif £^^ = a de Les valeurs propres de o sont +1 et -1.
Soit K = {X 6 1 O X = X} et P = {X E j o X = -X}j
est la somme directe de K et P. K et P jouissent des propriétés suivantes : 1) K est l'algèbre de Lie de H
2] Soit M la projection canonique G -► G/H et soit ü >= n'HJj
la restriction de à P est un isomorphisme de vectoriel de P sur
f
T (G/H) O
3) i K.KÎ C K, [ K..P] C P , [P,P] C K
Il résulte de la propriété 3) qu'un espace symétrique G/H est réductif.
IcS, Définition, On appelle algèbre de Lie inVoZutive une algèbre de Lie munie d'un automorphisme involutif o.
ün notera = K ® P la décomposition de de 0 c
1.6, Proposition, Soitune algèbre involutive alors P ® [ PP] est un idéal de ij.
1.7, Définition, Le groupe des transveotions de l'espace symétrique G/H est le sous-groupe connexe G de G dont l’algèbre de Lie est P ♦ [ PP]
i
suivant les valeurs propres +1 et -i2c S» Ppopositi-orio G est le plus petit sous-groupe de G transitif sur M stable par le f 12]
2 c9o Coroîlaire<,
1] Soit H => GT^Hj alors G/H est une présentation de G/H
2) ^ l'algèbre de Lie du groupe des transvections alors [PP] = K où K est l’algèbre de Lie de H,
Nous adopterons dorénavant pour les espaces symétriques la présentation par le groupe des transvections. De même les algèbres de Lie involutives seront telles que [P,P] = K .
2o20o Dêfinitiorio Un espace vectoriel P muni d’un produit tri linéaire
Ip^» p^o Pg] » V Pj, p^o Pg 6 P Bst un ayetème triple de Lie si les identités suivantes sont satisfaites :
i ) î p, P P ql = D V P P q Ë P
ii) [p, q, r] ♦ [q, r, p] + [r, p, q] =0 V p, q. r B P
ün [pp q [rpSptll = [[p q r] , s.t] + (r„ Ip,q,s]pt] + [r.s, [p.q.t]]
V p, qp r» Sp t E P
lollc Propositiorio Soit (»Js o) une algèbre de Lie involutive alors P muni du produit Ippqpr) “ [[p q] r] est un système triple de Lie.
Réciproquement :
lcl2o Proposition. Soit (P.[ , , ]) un système triple de Liej pour tout p,q B P on note hlp»q) la transformation linéaire r |p,q,r] de Pj soit K. le sous-espace de l’espace des transfonnations linéaires de P sous-tendu par les htp.q)? soit
= K ® P, alors ^ muni des crochets de Lie [ApBl = AB - BA
I Appl = - J PpA] = Ap
[ppq] « h(p,q) V Ap B E K et V p, q E P
est une algèbre de Lie involutive. L'involution a est définie par o[A) = A et op = -p
2»23. Corollaire, Il y a une correspondance 1-1 entre les systèmes triples de Lie et les algèbres de Lie involutives telles que [ PP] = K
Soit CG/Hp g) un espace symétrique psèudo-riemanniem g^ induit sur P, via "
une forme quadratique <1> .
lol4c Prvpriêtéso
1) <1> est invariante par K, c"est-à-direc <|ki,pj|q> + <p|lKq]> - 0 V p,q e P et V k e K,
2) Soit R le tenseur de courbure de la connexion de Levi-Civita alors V p.q.r 6 P R(p,q)r - - (tp.ql» r]
3) La forme quadratique <1> peut s’étendre en une forme quadratique sur invariante par ^ et par o de la manière suivante :
<p|k> = 0 V p Ë P et V k e K
<I P^l I K> = <P2 II Pj] ^ V p^, p^ 6 P et V k Ë K
Nous avons noté de la même manière la forme quadratique sur P et son extension à
[
12]
Remarque : est non-singulièrCü
Proposition, Soit , a) une algèbre de Lie involutive, soit <1> un pro
duit scalaire sur P tel que <[k, Pj^Hp2^ ° ^1’ P2 ^
V k 6 kj alors le triple 5 a, <1>) détermine un espace symétrique pseudo- riemannien [ 12]
le sous- ,C Soit , 0) une algèbre de Lie involutive soit = K + P, Gn note
ensemble K + iP du complexifié ^ ® t de ^ avec le produit hérité de 1^' est une algèbre de Lie sur IR, L’application o^‘ : (J* ^ :k + ip-^k-ip [V k Ë K, V P Ë P) est un automorphisme involutif de
1,16, Définition, L’algèbre de Lie involutive iüj , o ] est appelée duale de , 0) "
S2, REMARQUES SUR LES ESPACES HGMGGENES PSEUDO-RIEMANNIENS, Z,l, Proposition, Soit G/H un espace homogène de groupe de Lie,
Si sur T^CG/H) il existe une forme quadratique <1> invariante par H c'est-à-dire telle que <ï(h) X | tîh) Y> = <x1y> V X, Y ë T (G/HÎ alors il existe sur G une métrique pseudo-riemannienne g telle que :
i) g (X.Y) = <x|Y> V X, y ë T (G/H)
O O
ii) G est un groupe d’isométrie pour g.
Démonstration , Pour tout p E G/H il existe k E G tel que T(k),0 = p.
On définit g (X , Y ) = <T(k X I T(k ^) Y >, Cette définition est indé-
P P P ^ P ^
pendante de ki en effet soit k' E G tel que T(k’).0 = p. On a ; T(k’“^ k),0 ■= T(k’"^) T(k),0 = T(k’"^)op = 0 d’où k’"^ k = h E H g (X , Y ) = <T(k"^) X
P P P *p P
= <T(k’“ ) X I T(k’" ) Y > ,-l.
K p ' « P
P P
T(k'^) Y > = <T(h'^) T(k’"^) X |x(h"^) T(k’’^)
KP p K^ Xp p' K^ X
,-l.
2o2, Proposition,, Soit G/H un espace homogène de groupe de Lie simplement connexe.
Soit (resp.^) l'algèbre de Lie de G (resp. H] alors il existe un groupe de Lie simplement connexe G d’algèbre de Lie Jj et un sous-groupe Pf d’algèbre de Lie A
'V, 'V O d
tels que G/H soit difféomorphe à G/H.
Démonstration^ Soit G le groupe de Lie simplement connexe d'algèbre de Lie
& est un revêtement de G, soit p la projection p : & -► G, Le noyau de p est un sous-groupe discret central de &. Soit Pf = p ^ H, Comme p est un homomorphisme de groupe continu^ Pf est un sous-groupe fermé de On note ir (resp. îr) la projection canonique K : G G/H (resp. ir : è -► &/Pf). Soit le diagramme suivant
-1
p/p;
H
. Pl
G &/Pf-> G
I -> G/H
où i (resp. i) est l’injection de H (resp. Pîl dans G (resp. è).
On définit (p de manière è rendre ce diagramme commutatif.
On
a <|>(g Pl)
=(41
O ff ig = (ïï Op)g
Vg Pl Ê è/?l
4> est bien définie; en
effet
soient g et g 6 G tels que g.Pl
= g„Pl
c’est-à-dire'V'V ^
tels qu’il existe h G H tel que = g^ h
(ti o p)g^ = (ti O p) g^ h = ir(p g^ . p h) = (ir O p)g^
'\i Op <v
<p est subjective. Soit g H E G/H, il existe g 6 G tel que pg = g
On a %
<p(g H) (TT o p)g = TT g = g H
'V .'V,
CO 'Xj . _ _
4> sst de classe C . Soit U un ouvert de G/H au-dessus duquel il existe une section On a
locale s ; il G
,'X, 'V,
<P(g H) ( tr o p o s ) (g H)
(j) étant la composée d’applications de classe C est de classe C , (p est injectlVB, Soient g
Pl,
g^Pl
6 G/H tels que 41 (gj^Pl) =
4>(g^Pl)
< = > (tt o p) gj^ = (u o p) g^
g.
% g.
“ P g2»h -V y
So h h existe car P ^ H
g Pt
^1 g. Pf
-1 est de classe C . Soit U un ouvert de trivialisation de G -► G/H Soit s une section locale de U ->■ G. Soit U’ un voisinage de sU
Soit VcTT^ U un ouvert de trivialisation de è -► G rencontrant la section locale s. Soit a une section locale a : V alors
4> ^(g H) = (iT 0 o o s)(g H) V g H G ir(\/)
- 1 «PO
^ étant la composée d’applications de classe C est de classe C
Remarque. G n’opère pas nécessairement effectivement sur G/H -v ^/H mais comme
^ % ^\j t %
G et G (resp. H et H) ont même algèbre de Lie {g G G | x(g) p = p V p E G/H} est discret. On dit alors que G opère presque effectivement.
2o4. Proposition. Soit G/H un espace homogène de groupe de Lie réductif. Soit
m la décomposition de ^ alors la sous-algèbre m ♦ [mm] est un idéal de ^ Démonstration, ^(m) = m + [mm] est clairement une sous-algèbre. Il suffit de mon
trer que V h Eg et V p E (^(m) [h^p] C^(m)^[h m] G m car m est invariant et [ h [ mm] ] = [ [ h m] m] + [ m [ h m] ] C [ mm] .
Nous avons montré au Chap. I que sur les espaces homogènes pseudo-riemanniens admettant une présentation réductive il existait un tenseur T E T*(M) ® T*(N) ® T£M] vérifiant les conditions T g = 0, (V - T] R = 0, (V - T) T = 0.
Nous nous proposons dans les paragraphes suivant de déterminer parmi ces espaces ceux pour lesquels T Jouit de la propriété supplémentaire d’être récurrent c’est- à-dire VT = a ® T avec a E
{3. ESPACES HOMOGENES PSEUOO-RIEMANNIENS AOMETTANT UNE PRESENTATION REOUCTIVE POUR LAQUELLE VT = a ® T
3clo Théorème. Soit (M.gJ un espace homogène pseudo-riemannien simplement connexe, connexe, irréductible [c’est-à-dire dont le groupe d’holonomie opère irréductible
ment).
Soit (G/H, g) une présentation réductive de M telle que 1) VT = a ® T a E t’'(M)
2) H opère complètement réductiblement sur T^ (G/H)
Alors G/H est l’un des espaces homogène de groupe de Lie suivant;
1) G est un groupe de Lie simple, H = [e), la métrique g^ en rr(e) = 0 est une forme quadratique invariante sur
2) G = S X S où S est un groupe de Lie simple H = A(G) = {(s,s) I s E S}
G/H est un espace symétrique, l'involution Z de G est G -*■ G:(s^,S2) -*■
T (G/H) est isomorphe à t (l’algèbre de Lie de S), 1^ métrique g en#
O O
n(e) est une forme quadratique invariante sur t.
3) Soit T une algèbre de Lie simple, soit x = x ® Œ la complexifiéeŒ
^ (C
de X soit h = [X ® a I a Ë F?) l’ensemble des points fixes de x“'
(j tr ΠCtr -
pour l’involution a:x->x :X®z->X®z,
G est le groupe de Lie simplement connexe d’algèbre de Lie x H le sous-grouipie connexe de G d’algèbre de Lie
G/H est un espace symétrique
C
La métrique en u(e) est l'image par l'isomorphisme de vectoriel T->P:X-»’X X i d'une forme quadratique invariante sur t
4) G = S0(2, IR) . SU(2, Œ) (. désigne le produit semi-direct) H = SG(2, |R)
G/H est dlfféomorphe à SU(2, 1)
La métrique g^ en Tt(e) est donnée par la matrice
dans la base naturelle (x) de su(2, IC) 'v so(3, IR) 5) G = 50(2, R) . SLC2, IR)
H = S0(2, IR)
G/H est dlfféomorphe à SL(2, |R)
La métrique g^ est donnée dans la base naturelle de s£C2, IR) par la (X) matrice
6) G = Sü (1. 1, IR) . SLC2, IR) H = S0(1, 1, IR)
G/H est dlfféomorphe à SL(2, IR)
La métrique g^ est donnée dans la base naturelle (*) de s£.(2, IR) par la matrice
7) G = S0(2, IR) . N
où N est un groupe de Lie nllpotent dlfféomorphe à IR dont le produit 3 est donné par
Cv,w) (v ' ,w' ) = (v+v ’, w+w' + ^ V A v') V Cv,w),(v',w') EIR^ xiR Le groupe d’isotropie H = S0(2, IR)
L’action de Sü[2, IR) sur N est donnée par s(v,w) = (sv,w)
G/H est dlfféomorphe à N
» voir définition 7o6
La métrique g en Tr(e] s'écrit dans la base naturelle de IR3
3
Comme G/H est difféomorphe à |R il existe des coordonnées globales (v^, w) 1 = 1, 2
On peut donc écrire la métrique globalement :
'^2 ''l ''2 ''1
g = dVj^ 0dVj^ dv^ Qdv^ + Cdw + — dv^ - — dv^] 0 Cdw + ~ dv^ - — dv^) où dvOdv désigne le produit tensorlel symétrisé.
8) G = SGCI, 1. IR] . N H = SOCl, 1, IR)
G/H est difféomorphe à N La métrique g^ en nCe) s’écrit
/-I 0 o\
ü 1 °
\ G 0 1/
Globalement g s'écrit
V V. V V
2 1 2 1
g = - dVjOdv^ + dv^Qdv^ + (dw ♦ ~ ~ ^'^2^ ® 2~ ‘^'^1 ~ ~ ^^^^2^
9) G = IR^ . M
0
où M est le groupe de Lie nilpotent difféomorphe à |R dont le produit est donné par
[v^, v^, Wj, v^, w^, w^] = (v^+v*. '^2*^2' '^l*'^î * 7^'^1^'^ï '
V (v^, w^, w^).
H = IR^
w +1J * + —(v V* ♦ V V’]]
2 2 2 1 2 2 1
(v^, v^. w’. w^] E IR^ X IR^ X R X IR
Soit e^ une base de H. Soit une base de IR , soit = v^^E^ ♦2 V12E2 et = '^21^1 * '^22^2' ^ ^l’action de te^^ et te^ E H sur N est donnée dans la base (E^^,0,0,0) (E^,0,0,0] [0, E^,0,0]C0, E^.O.O]
(0,0,1,0] (0.0.0,1] de R® par
t e
r
sin t 0 0 0 0\
cos t 0 0 0 0 \ 0 cos t sin t 0 1 0 -sin t cos t 0 ^
0 0 0 10/
0 0001/
0 cos -sin
□ 0 Q
0 sin cos 0 G 0
sin 0 0
CO s 0
□
0
□ 0 0 1 0
G/H est difféomorphe à M
La métrique g en ir(e) s'écrit dans la base (E , G,0,0) CE , 0,0,0) 0) (0, E^. 0,0)
' n s I
, -S I r I où I est la matrice identité 3x3
0
Comme G/H est difféomorphe à R il existe des coordonnées globales w^) ij = 1.2
On peut donc écrire la métrique globalement
g O - r Z Cü), 0 lü - (|i 0 (^ ) + 2 s Z u> 0
loi 1111 1 1
où “ dw + --- riv12 1 1 2 11
V V
11 22
dv,_---^ dv_, dv_,dv__
2 12 2 21 21 22
“2 ■ '‘“n
“3 ■ ‘'''12
,j) = dw + —^ dv---— dv + —dv ♦ —ü dv
^1 2 2 11 2 12 2 21 2 22
♦2 “ ^''21
♦3
G/H est une variété Kahlerlenne, la structure complexe J s’écrit dans la base 383
''11 ''12 ''21
K. 9 9 22 *^1 '^2
0 0 0 -1 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0
'. 0
iS
10) G = S0C2, IR) X S0(2,R) . S0Cl, '3., IR) H = S0C2, IR) X S0C2, |R)
G/H est difféomorphe à SOCl, 3, IR)
La métrique en ir(e) est donnée dans la base naturelle (*) de sod, 3. R) par la matrice
ar ♦ 6s T
0 r I
-6r +03 0
T S I
-6r+ 03 0 T S I
-or - 6s □
T -r I
où □ = (0,0), I est la matrice identité 2x2 , o^ + 6^ =f 0
G/H est une variété Kahlérienne, la structure complexe en ir(e) est donnée dans la base naturelle de so(l, 3, R) par la matrice
0
■I
où I est la matrice identité 3x3.
Remarque : Pour la facilité de la lecture nous n’avons pas dans le théorème donné la présentation simplement connexe des espaces homogènes et ce parce que dans plusieurs cas le groupe simplement connexe n’opère que presque effectivement avec un centre Z.
Schéma de la démonstration,
ün prouve [Prop, 3.2] que si T est récurrent il est parallèle. On montre en
suite que l’étude de l’algèbre de Lie ^ du groupe d’isométrie Cr se ramène, sous les hypothèses du théorème à l’étude de l’objet suivant :
un vectoriel x isomorphe à p 6 M muni de deux lois : 1) une loi x qui muni X d’une structure d'algèbre de Lie simple 2) d’un triple produit de Lie [ . , ]
avec les relations suivantes :
i) [X X Y, Z. T] + [Y X Z. X, T] + [Z x X. Y. T] =0
ii] [X, Y, Z X T] = [ X. Y. Z] X T + Z X [ X. Y, T] (Prop. 4.11]
L’algèbre ^se construit alors comme suit : soit (X, { }, o) l’algèbre de Lie involutive déterminée par le triple produit de Lie. Soit K l’ensemble des points de X fixés par o. est en tant que vectoriel la somme directe ^ K. avec les crochets [X,Y] = X X Y - {X,Y}
[ X.H] = {X.H}
[H^. H^] = H^} V X Y 6 T , V H, e K
Pour démontrer les résultats qui précèdent on procède de la manière suivante :
(x) voir définition 7.11
□ n a montré au Chap. I que l’algèbre est donnée par ^ avec m = {(X. - T^) I X e T CM)}, h = {(0. ftcü.V)
I
U, V E T CM)}X ' P P
où R est la courbure de la connexion affine V - T Les crochets s’écrivent :
ÎCX, - T^), (Y. -1^)1 = (T^X - T^Y. X ‘ ICX, - T^). (0. ^CU,V)] = C-R(U.V);C
[CO, RCU.V)), CO. ^CW.Z))] =» CO. RCRCU.V)W.Z) ♦ ^CW, ^CU.V)Z))
^est par conséquent donné en terme des tenseurs T et R
Le sous-vectoriel m de peut être muni d’une structure d’algèbre anticommutative de la manière suivante CX, -T ) x CY, - T ) = [ CX, -T ),CY, -T )] = CT X - T Y,
A Y A Y rn Y X
T ^ T- ) où [ ] désigne la projection de [ ] sur m. Le produit dans m.x est TxY'TyX
donné en terme de T uniquement.
Soit = {T I X 6 T CM)}, Si T est parallèle T est une algèbre de Lie d’endo-
A P
morphismes de T CM).
P
On remarque ensuite que l’application ((> : T CM) •-«•T î X -*■ T est une bijection
P X
î iemme 4,4] et que T^Y * T^X = 0 ( lemme 4.3] , si bien que le produit
CX, -T^) X CY, -1^) peut s’écrire C-2 T^Y, 2 résulte que l’appli
cation X->■ m ; T -*■ - 1/2 CX, “T ) est un Isomorphisme d’algèbre et par consé-
A A
quent m.x est une algèbre de Lie,
On montre d’autre part que Z est l’algèbre de Lie du groupe d’holonomie et que T est simple [ lemme 4,5] , Il en est donc de même pour m,»
Il reste à préciser la structure de 1^ et son action sur m.
Soit <R - {RCU.V) I U, V Ê T^CM)}, <R est l’algèbre de Lie du groupe d’isotropie linéaire. Les identités de Jacobi de montrent que <R est une algèbre de déri
vation de m.x et comme toute dérivation d’une algèbre de Lie simple est inté
rieure il existe une injection de (fi dans m,A,
Le tenseur ^ définit sur T (M) Cet par conséquent sur m '^^T) un triple produit
A, ^
de Lia [X.Y.Z] = RtX.Y)Z [ lemme 4,9]
Les identités de Jacobi réécrite en termes des produits x, [ , , ] imposent les relations i) et ii). Soit £■, { }, l’algèbre de Lie involutive déterminée par ce triple produit on a :
X = m © ffi avec les crochets Cm n, T CM)
s, P
{X.Y} = RCX Y)
(RCU.V). X} = ^CU V)X
{^CU.V), ^CW.Z)} = ^CRCU,V)W. Z) + ^CW,
ftcu.v)z)
On voit aisément que le produit dans s’obtient à partir du produit dans X et du produit dansX,»
La métrique sur T^CM) est donnée via <|) par une forme quadratique invariante sur T On procède ensuite à la détermination de et ^ . On montre que ^ est soit nul soit simple soit abélienne. Les trois cas sont traités séparément.
Lorsque ^= 0^M est un groupe de Lie simple dont l'algèbre de Lie est iso
morphe à T,x (Cas 1 du théorème).
Lorsque ^ est simple ^ est isomorphe est alors un espace symétrique (Cas 2 et 3 du théorème).
Lorsque ^ est abélienne on détermine d'abord les algèbres de Lie Involuti- ves dont l’ensemble des points fixes pour l'involution est une algèbre de Lie abélienne d’endomorphismes semi-simples [ lemme 7.3 et 7,4], On montre ensuite que ^ est soit de dimension 1 soit de dimension 2, On obtient alors respective
ment les espaces homogènes 3, 4, 5, 6, 7, 6, 9 et 10 du théorème.
Démonstvation,
3,2, Proposition. T est parallèle.
Démonstration. On a
R(XY)T = (V^V^ - = V^(V) - V^d^T) - Tj ^
= T . T^(V^T) - (V^T)^T- T
- - ■^IXY] T
= a(X)TYÎ + o(X)T - a(Y)T^T - a(Y)T
= (a(X) a(Y) ♦ o(Y) a(X))T - (a(Y) a(X) + a(X) a(Y))T = 0 On montre par récurrence que (7^*^ R) (X.Yi X,, .,,, X ,)T = 0
1 m+1
On suppose (V R) (X,Y; X,, .,,, X )T = 0
1 m
On a 7^ (7"’ R(X.Y{ X,. X )T) = 0
X
>
1rn '
m+l
= [(7"’^^ R)(X,Yj X.. ,,,. X ,)T) + 7"’ R (7„ X. Y, X,. ,,,, X )T
i m+l ~
m+l m
+ 7"^ R(X, 7^ Y| X,. ,,,, X )T + Z 7"’ R (X.Yj X,. ...,7„ X,,,,,X )T
x« X X X«xm
m+l i=l m+l
+ 7"’ R (X,Yj X,. ,,,, X ) 7^ T
1 m X ,
m+l - (7'"*^ R) (X.Y) X,, X -)T
1 m+1
T est invariant par 1’holonomie infinitésimale et par conséquent parallèle.
