TD6 exo 2
On veut ´etudier la suite r´ecurrente :
un+1= 3un+wn, wn+1=−un+wn
On poseXn =
un
wn
si bien queXn+1=AXn avecA:=
3 1
−1 1
.
Etudions la r´eduction deA. Son polynˆome caract´eristique est (X−3)(X−1)+1 =X2−4X+4 = (X−2)2. Ainsi 2 est vp double.
Si A´etait diagonalisable, alorsAserait semblable `a la matrice 2I3, et on aurait alorsA= 2I3, ce qui est bien sˆur faux. AinsiA n’est pas diagonalisable (on peut aussi le voir en montrant que ker(A−2I3) est de dimension 1).
Afin de calculer les puisances deA, on utilise le th´eor`eme de Cayley-Hamilton. Celui-ci donneχA(A) = 0, c’est-`a-dire (A−2I)2= 0. Voici ce qu’on obtient grˆace au binˆome de Newton entre 2I etA−2I :
An = (2I+A−2I)n= 2nI+n2n−1(A−2I) + 0 + 0 +. . .
et c’est tout grˆace `a la nilpotence de A−2I ! Ainsi, on a obtenu la formuleAn =n2n−1A−2n(n−1)In. Ou encore, en revenant `a l’expression deA:
An=
n2n−13−2n(n−1) n2n−1
−n2n−1 n2n−1−2n(n−1)
. On peut revenir `a la suiteXn, puisque par r´ecurrence, on aXn =AnX0.
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