A351. Un dur à cuire et son acolyte
Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N, p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q, r) avec le quotient q et le reste r remplace le couple (N, p). On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’un couple devienne nul.
Je suis un dur à cuire car avec mon acolyte p, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0.
De surcroît, je suis le plus petit des durs à cuire qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut mon acolyte p ?
Solution proposée par Paul Voyer
La dernière opération porte sur q multiple de r, ce qui génèrera un reste nul.
Pour trouver le plus petit, on peut supposer que la dernière opération porte sur [q(13)=1, r(13)=1].
La précédente porte alors sur (3, 2).
La précédente sur (11, 3) car la plus petite valeur possible du multiplicateur de q est r+1=3.
On obtient la récurrence q(n-1)=(r(n)+1)*q(n)+r(n-1) et r(n-1)=r(n)+1 D'où le tableau :
itération N p q r
1 12454041599 13 958003199 12
q r
2 958003199 12 79833599 11
3 79833599 11 7257599 10
4 7257599 10 725759 9
5 725759 9 80639 8
6 80639 8 10079 7
7 10079 7 1439 6
8 1439 6 239 5
9 239 5 47 4
10 47 4 11 3
11 11 3 3 2
12 3 2 1 1
13 1 1 1 0
Et le résultat N = 12 454 041 599, p = 13
