A351. Un dur à cuire et son acolyte
Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N,p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient q et le reste r remplace le couple (N,p). On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’un couple devienne nul.
Je suis un dur à cuire car avec mon acolyte p, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0. De surcroît, je suis le plus petit des durs à cuire qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut mon acolyte p ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
vaut et son acolyte vaut .
On remarque d’abord que dans tout couple on a : pour le premier couple c’est
l’hypothèse , tandis que pour les suivants c’est la définition de reste. En particulier, tout à la fin, c’est l’élément du couple qui s’annule. Toujours d’après la définition de reste on a que la valeur de décroit à chaque étape; ce qui entraine d’un côté que le procédé doit s’arrêter; et d’autre côté que l’acolyte doit être au moins 13.
Pour résoudre le problème on va essayer de rebrousser chemin: partant du couple final,
nécessairement de la forme on voudrait remonter à son parent; mieux dit, à un de ses parents, car il n’est pas difficile de se convaincre que la fin de l’histoire prévoit un deuxième paramètre et on a Plus en général on va voir que les couples parents d’un couple donné forment une famille à un paramètre; famille donnée par:
En fait la formule pour suivit du fait que les restes décroissent; et, une fois fixé, on en déduit la formule pour car on connait le quotient et le reste de la division . Puisqu’on veut
minimiser la valeur de (qui est le initial) on choisira partant de la fin on a :
Remarque La formule générale à partir de est
