A351 Un dur ` a cuire et son acolyte
A chaque it´eration le reste est plus petit que le diviseur et devient le diviseur suivant. Les restes successifs forment donc une suite strictement d´ecroissante.
La plus petite de ces suites de longueur 13 est : 12, 11, 10, ... 1, 0 le premier diviseur est 13, et le nombre cherch´e est:
13(12(11(10(9(8(7(6(5(4(3(2(1)+1)+2)+3)+4)+5)+6)+7)+8)+)+9)+10)+11)+12 soit :
12.452.741.599
Si on examine la suite des quotients en remontant, on voit qu’`a la division par 6 le chiffre des unit´es est 9, `a partir de la division par 11 celui des dizaines est aussi 9. Si on poursuivait plus loin, `a partir de la division par 15 c’est le chiffre des centaines qui est un 9. Si un quotient se termine par n fois le chiffre 9, tous les quotients pr´ec´edents se terminent par au moins n fois 9:
(10n−1)×p+p−1 =p×10n−1
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