Je suis un entier naturel N. En choisissant un certain entier p positif plus petit que moi, on forme un couple (N,p) puis on me divise par p. Le couple d’entiers obtenus (q,r) avec le quotient q et le reste r remplace le couple (N,p). On poursuit le processus en divisant q par r jusqu’à ce que le plus petit terme d’un couple devienne nul.
Je suis un dur à cuire car avec mon acolyte p, il faut 13 divisions successives pour obtenir 0. De surcroît, je suis le plus petit des durs à cuire qui nécessitent ces 13 opérations. Qui suis-je et que vaut mon acolyte p ?
Dans une division euclidienne, le reste est strictement inférieur au diviseur, et comme dans le processus, le diviseur est le reste précédent, les restes successifs forment une suite strictement décroissante.
A rebours, si le dernier quotient est 1 et le dernier reste 0, la suite minimale des restes en remontant est 1, 2, ... , 12 ; il est évident que le premier terme est une fonction linéaire croissante des différents restes, et donc que le plus petit terme initial sera obtenu avec une suite de restes minimale.
En numérotant les étapes à rebours, l’étape i donnant le reste i, le quotient qi de l’étape i est tel que qi+1=(i+1)qi+i, ou qi+1+1=((i+1)(qi+1), et comme q0=1, qi=2i!-1.
Le dur à cuire cherché est donc 2*13!-1=12454041599, associé à son acolyte 13.
