Enonc´e noA543 (Diophante) Facilit´es de logement
D´emontrer que pour tout entiernsuffisamment grand, on sait toujours loger un carr´e parfait entrenet 2netun cube parfait entrenet 3netla puissance quatri`eme d’un entier entren et 4n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin a) un carr´e parfait entrenet 2n
n < k2 <2n´equivaut `a√
n < k <√
2n. L’existence d’un entier k v´erifiant cette double in´egalit´e est assur´ee si√
2n−√
n >1, soit√ n(√
2−1)>1 et n >1/(√
2−1)2 = (√
2 + 1)2 = 3 + 2√ 2.
La propri´et´e est donc assur´ee d`es que n≥6 (en fait, d`es que n≥5).
Remarque.n≤k2 ≤2nest v´erifi´e pour tout n.
b) un cube parfait entre net 3n On a de mˆeme n < k3 < 3n, √3
n < k < √3 3n, √3
3n − √3
n > 1, soit
√3
n(√3
3−1)>1 et n >1/(√3
3−1)3 = 11,56. . ..
La propri´et´e est donc assur´ee d`es que n≥12 (en fait, d`es que n≥10).
Remarque.n≤k3 ≤3nn’est impossible que pourn= 2.
c) une puissance quatri`eme entrenet 4n On a de mˆeme n < k4 < 4n, √4
n < k < √4 4n, √4
4n − √4
n > 1, soit
√4
n(√4
4−1)>1 et n >1/(√4
4−1)4 = 17 + 12√ 2.
La propri´et´e est donc assur´ee d`es que n≥34 (en fait, d`es que n≥21).
Ainsi, l’ensemble des trois propri´et´es est vrai d`es que n≥21.
Si l’on veut que le mˆeme nombre soit carr´e, cube et puissance quatri`eme, entrenet 2n, il suffit de prendre
n >1/(12√
2−1)12= 511717105990168,48. . ..
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