Enoncé A1749 (Diophante) Juste une devinette
Quatre chiffres a, b, c, d de cet entier à huit chiffresN =a12bc42dont été effacés. Cet entierN est divisible par 5544. Déterminer le quotientN/5544.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
5544 est divisible par 8 (quotient 693), N doit l’être aussi, d’où d= 4.
5544 est divisible par 99 (quotient 56), N doit l’être aussi ;
N = 10a+b+ 10c+ 49 + 99(101010a+ 101b+ 10c+ 12125), ce qui fait correspondre une valeur de bcà chaque valeur de a.
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9
bc 04 03 02 01 00 98 97 96 95
bc4a 0441 0342 0243 0144 0045 9846 9747 9648 9549
bc4amod 7 0 6 5 4 3 4 3 2 1
Reste à vérifier la divisibilité par 7 = 5544/(99×8). Or N = 10×bc4a+ 7(1428570×a+ 171432).
La dernière ligne du tableau montre la solution unique a = 1, bc = 04, N = 11204424 = 5544×2021.
