A1749* - Juste une devinette
4 chiffres (a, b, c, d) de cet entier à 8 chiffres N = a1 2bc 42d ont été effacés.
Cet entier N est divisible par 5 544. Déterminer le quotient N/5 544.
Proposition de Marc Humery
N = a1 2bc 42d ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 ; diviseur 5 544 = 7 x 8 x 9 x 11
A/ Divisibilité de N par 8, 9, 11
N ≡ 0 [mod 8] => 42d ≡ 0 [mod 8] => 42d = 424 Résultat : d = 4
N ≡ 0 [mod 9] => a+b+c+13 ≡ 0 [mod 9] => a+b+c ≡ 5 [mod 9] avec 0 < (a+b+c) ≤ 27
=> (a+b+c) = 5 ; 14 ; 23
N ≡ 0 [mod 11] => (a-1+2-b+c-4+2-4) ≡ 0 [mod 11] => a-b+c ≡ 5 [mod 11] avec -8 ≤ a-b+c ≤ 18
=> (a-b+c) = -6 ; 5 ; 16
1/ (a+b+c)-(a-b+c) = 2b ≥ 0
2b = 5-(-6) = 11 ; 5-(5) = 0 ; 5-(16) = -11 => b = 0
2b = 14-(-6) = 20 ; 14-(5) = 9 ; 14-(16) = -2 => b pas de valeur admissible 2b = 23-(-6) = 29 ; 23-(5) = 18 ; 23-(16) = 7 => b = 9
Résultat : b = 0 ; 9
2/ (a+b+c) = 5 ; 14 ; 23 et (a-b+c) = -6 ; 5 ; 16 On a toujours : 1 ≤ a+c ≤ 18
Si b = 0
(a+0+c) = 5 ; 14 ; 23 => a+c = 5 ; 14 (a-0+c) = -6 ; 5 ; 16 => a+c = 5 ; 16
=> a+c = 5 => (a, c) = (1, 4) ; (2, 3) ; (3, 2) ; (4, 1) ; (5, 0) Si b = 9
=> (a+9+c) = 5 ; 14 ; 23 => a+c = -4 ; 5 ; 14 => a+c = 5 ; 14
=> (a-9+c) = -6 ; 5 ; 16 => a+c = 3 ; 14 ; 25 => a+c = 3 ; 14
=> a+c = 14 => (a, c) = (5, 9) ; (6, 8) ; (7, 7) ; (8, 6) ; (9, 5)
B/ Divisibilité de N par 7
Calcul des résidus de 10n modulo 7 :
10 ≡ 3 [mod 7] ; 10² ≡ 2 [mod 7] ; 103 ≡ 6 [mod 7] ; 104 ≡ 4 [mod 7] ; 105 ≡ 5 [mod 7] ; 106 ≡ 1 [mod 7] ; 107 ≡ 3 [mod 7]
Expression de N modulo 7
N = a1 2bc 42d = a x 107 + 1 x 106 + 2 x 105 + b x 104 + c x 103+ 4 x 10² + 2 x 101 + d N ≡ 3a + 1 + 2x5 + 4b +6c + 4x2 + 2x3 + d [mod 7]
1/ d = 4 ; b = 0 ; N = a1 20c 424 avec (a, c) = (1, 4) ; (2, 3) ; (3, 2) ; (4, 1) ; (5, 0)
N ≡ 3a + 1 + 2x5 + 4x0 +6c + 4x2 + 2x3 + 4 ≡ 3a+6c+29 ≡ 3(a+2c)-6 ≡ 0 [mod 7] => (a+2c) ≡ 2 [mod 7]
1 ≤ a+2c = 7k+2 ≤ 27 => k = 0 ; 1 ; 2 ; 3
a+2c = 2 => a = 2(1-c) => (a, c) = (2, 0) non compatible
a+2c = 9 => a = 9-2c => (a, c) = (9, 0) ; (7, 1) ; (5, 2) ; (3, 3) ; (1, 4) => (a, c) = (1, 4) compatible a+2c = 16 => a = 2(8-c) => (a, c) = (8, 4) ; (6, 5) ; (4, 6) ; (2, 7) non compatible
a+2c = 23 => a = 23-2c => (a, c) = (9, 7) ; (7, 8) ; (5, 9) non compatible Résultat : (a, c) = (1, 4) => (a, b, c, d) = (1, 0, 4, 4) => N = 11 204 424
2/ d = 4 ; b = 9 ; N = a1 29c 424 avec (a, c) = (5, 9) ; (6, 8) ; (7, 7) ; (8, 6) ; (9, 5)
N ≡ 3a + 1 + 2x5 + 4x9 +6c + 4x2 + 2x3 + 4 ≡ 3a+6c+65 ≡ 3(a+2c)-12 ≡ 0 [mod 7] => (a+2c) ≡ 4 [mod 7]
1 ≤ a+2c = 7k+4 ≤ 27 => k = 0 ; 1 ; 2 ; 3
a+2c = 4 => a = 2(2-c) => (a, c) = (4, 0) ; (2, 1) non compatible
a+2c = 11 => a = 11-2c => (a, c) = (9, 1) ; (7, 2) ; (5, 3) ; (3, 4) ; (1, 5) non compatible a+2c = 18 => a = 2(9-c) => (a, c) = (8, 5) ; (6, 6) ; (4, 7) ; (2, 8) non compatible a+2c = 25 => a = 25-2c => (a, c) = (9, 7) ; (7, 8) ; (5, 9) non compatible
Résultat : aucun
C/ Quotient N/5 544
N = 11 204 424 => N/5 544 = 11 204 424/5 544 = 2021 Conclusion : N/5 544 = 2021